Czterogradient

Czterogradient (lub 4-gradient) ${\displaystyle \mathbf {\partial } }$ – operator czterowektorowektorowy definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora wektorowego nabla ${\displaystyle \mathbf {\nabla } }$ definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Przyjmując sygnaturę metryki ${\displaystyle ({+}{-}{-}{-})}$ czasoprzestrzeni, czterogradient można wyrazić za pomocą jego składowych:

a) składowe kowariantne (dolne) 4-gradientu

${\displaystyle \partial _{\mu }\equiv {}_{,\mu }\equiv {\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},{\vec {\nabla }}\right),}$

b) składowe kontrawariantne (górne) 4-gradientu

${\displaystyle \partial ^{\mu }\equiv {}^{,\mu }\equiv {\dfrac {\partial }{\partial x_{\mu }}}=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial _{0},-{\vec {\nabla }}\right),}$

przy czym:

• ${\displaystyle \partial _{0}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\;\partial _{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}}$ itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kontrawariantnych ${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}}$ 4-wektora położenia ${\displaystyle x^{\mu }}$
• ${\displaystyle \partial ^{0}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\;\partial ^{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}}$ itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kowariantnych ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}}$ 4-wektora położenia ${\displaystyle x_{\mu }}$

Czterogradient jest używany np. w równaniach szczególnej teorii względności, mechaniki kwantowej czy kwantowej teorii pola. Iloczyn skalarny czterogradientu daje operator d’Alamberta.