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Elliptische Geometrie

Die reelle elliptische Ebene dargestellt auf der Einheits­kugel­oberfläche im drei­dimensionalen reellen Raum: Einem elliptischen Punkt (Antipoden­paar) wird der Großkreis als Polare zugeordnet, der durch die zu senkrechte Ebene durch aus der Kugel geschnitten wird. Die Zuordnung Pol-Polare ist in der elliptischen Geometrie grundlegend. Eine Darstellung auf der Kugel ist für die elliptischen Ebenen möglich, die projektive Ebenen über einem Teilkörper der reellen Zahlen sind und deren Polarität als quadratische Form gleichwertig zur reellen, elliptischen Standardpolarität ist.

Eine elliptische Geometrie ist eine nichteuklidische Geometrie, in der es im ebenen Fall zu einer gegebenen Gerade und einem Punkt , der nicht auf der Geraden liegt, keine zu parallele Gerade gibt, die durch geht.

In der elliptischen Geometrie gelten gewisse Axiome der absoluten Geometrie, Genaueres hierzu weiter unten in diesem Artikel. Zusätzlich gilt an Stelle des Parallelenpostulats der euklidischen Geometrie das Axiom:

Ist eine Gerade und ein Punkt außerhalb dieser Geraden, dann existiert keine Gerade in der Ebene durch und , die nicht schneidet.[1]

Das bedeutet, dass es in einer elliptischen Geometrie keine Parallelen gibt. Eine andere Alternative zum euklidischen Parallelenaxiom führt zur hyperbolischen Geometrie.

  1. ↑ nach Klotzek (2001)

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