Legendre-Konstante

Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798^[1] von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl ${\displaystyle n}$ sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.

Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\biggl (}\!\ln(n)-{\frac {n}{\pi (n)}}{\biggr )}=B,}$

dabei ist ${\displaystyle \ln(n)}$ der natürliche Logarithmus von ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \pi (n)}$ die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als ${\displaystyle n}$ sind, und ${\displaystyle B}$ die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst ${\displaystyle n}$=400.000, später ${\displaystyle n}$=1.000.000, auf etwa 1,08366 schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.

Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow bewies 1849,^[2] dass dieser Grenzwert ${\displaystyle B}$ den Wert 1 hat, sofern er existiert. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht.^[3]

Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin,^[4]

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{wenn }}x\to \infty }$

(für eine positive Konstante ${\displaystyle a}$, wo ${\displaystyle O(\dotso )}$ das Landau-Symbol ist), dass ${\displaystyle B}$ tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard^[5] und Charles de La Vallée Poussin^[6] (ohne Restabschätzung) bewiesen.

1. ↑ Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen L.
2. ↑ Edmund Landau: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Third (corrected) edition, two volumes in one, Chelsea 1974, S. 17.
3. ↑ János Pintz: On Legendre’s prime number formula. In: American Mathematical MonthlyThe American Mathematical Monthly, Jg. 87 (1980), S. 733–735.
4. ↑ La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899
5. ↑ Sur la distribution des zéros de la fonction ${\displaystyle \zeta (s)}$ et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online (Memento vom 17. Juli 2012 im Internet Archive)
6. ↑ « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, S. 183–256 und 281–361