Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen [navˈjeː stəʊks] (nach Claude Louis Marie Henri Navier und George Gabriel Stokes) sind ein mathematisches Modell der Strömung von linear-viskosen newtonschen Flüssigkeiten und Gasen (Fluiden). Die Gleichungen sind eine Erweiterung der Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik um Viskosität beschreibende Terme.

Im engeren Sinne, insbesondere in der Physik, ist mit den Navier-Stokes-Gleichungen die Impulsgleichung^[1] für Strömungen gemeint. Im weiteren Sinne,^[2] insbesondere in der numerischen Strömungsmechanik wird diese Impulsgleichung um die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung erweitert und bildet dann ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Dieses ist das grundlegende mathematische Modell der Strömungsmechanik. Insbesondere bilden die Gleichungen Turbulenz und Grenzschichten ab. Eine Entdimensionalisierung der Navier-Stokes-Gleichungen liefert diverse dimensionslose Kennzahlen wie die Reynolds-Zahl oder die Prandtl-Zahl.

Die Navier-Stokes-Gleichungen bilden das Verhalten von Wasser, Luft und Ölen ab und werden daher in diskretisierter Form bei der Entwicklung von Fahrzeugen wie Autos und Flugzeugen angewendet. Dies geschieht in Näherungsform, da keine exakten analytischen Lösungen für diese komplizierten Anwendungsfälle bekannt sind.

Unabhängig von ihrer Bedeutung für die Physik stellen die Gleichungen auch eine mathematische Herausforderung dar: Es ist nicht bekannt, ob es für den allgemeinen dreidimensionalen Fall eine überall definierte glatte (eindeutige) Lösung gibt – dies konnte bislang weder bewiesen noch widerlegt werden. Diese Frage gehört zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen und ist eines der sieben Millennium-Probleme.

1. ↑ L.D. Landau, E.M. Lifshitz: Fluid Mechanics – Course of Theoretical Physics, Institute of Physical Problems, Pergamon Press, 1966, S. 47–53.
2. ↑ A. Chorin, J.-E. Marsden: A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. Springer Verlag, 2000.