Permutationsgruppe

Eine Permutationsgruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe von Permutationen einer endlichen Menge ${\displaystyle M}$ mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung. Die Gruppe aller Permutationen von ${\displaystyle M}$ nennt man ihre symmetrische Gruppe ${\displaystyle S(M)}$. Die Permutationsgruppen sind in diesem Sinne genau die Untergruppen der symmetrischen Gruppen.

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe, also zu einer Permutationsgruppe isomorph. Insofern „ist“ jede endliche Gruppe eine Permutationsgruppe. Sieht man die endliche Gruppe ${\displaystyle G}$ als abstrakte algebraische Struktur an, dann sagt man daher genauer: ${\displaystyle G}$ operiert als Permutationsgruppe auf der Menge ${\displaystyle M}$. Damit wird deutlich, dass es sich bei dieser treuen Permutationsdarstellung um eine eindeutige Beschreibung der Gruppenstruktur handelt, neben der auch andere Beschreibungen möglich sind.