Zufallsgraph

Ein Zufallsgraph bezeichnet einen Graphen, bei dem die Kanten zufällig erzeugt werden. Häufig eingesetzte Modelle zufälliger Graphen sind:

• Das Gilbert-Modell (benannt nach Edgar Gilbert):^[1] ${\displaystyle G(n,p)}$ mit einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$, der Zahl der Knoten, und einer Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ bezeichnet die Menge aller Graphen, bei denen für jedes geordnete Paar ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ von Knoten, mit ${\displaystyle v_{i}\leq n}$, mit der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ bestimmt wird, ob sie durch eine Kante verbunden werden, und das unabhängig von den anderen Kanten. Man untersucht dann häufig, mit welcher Wahrscheinlichkeit die erzeugten Graphen eine bestimmte Eigenschaft haben, z. B. ob sie zusammenhängend sind. Eine weitere Möglichkeit ist es, ${\displaystyle p=p(n)}$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle n}$ vorzugeben und dann das Verhalten bei wachsendem ${\displaystyle n}$ zu untersuchen.

• Das Erdős-Rényi-Modell (benannt nach Paul Erdős und Alfréd Rényi):^[2] ${\displaystyle G(n,m)}$ mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle n\geq 1}$ und ${\displaystyle m\geq 0}$ bezeichnet die Menge aller Graphen mit exakt ${\displaystyle n}$ Knoten und ${\displaystyle m}$ Kanten.

• Die Knoten ${\displaystyle V}$ des Graphen ${\displaystyle G}$ werden in der Ebene gemäß einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle f}$ verteilt. Wenn zwei Knoten ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ einen Abstand kleiner als eine vorgegebene Grenze ${\displaystyle d}$ haben, werden sie durch eine Kante verbunden.

• Auf einer abzählbaren Knotenmenge kann jede Kante unabhängig und mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ gewählt werden – durch diese Konstruktion entsteht fast sicher der Rado-Graph.

1. ↑ E. N. Gilbert: Random graphs, Annals of Mathematical Statistics, Band 30, 1959, S. 1141–1144
2. ↑ P. Erdős, A. Rényi: On Random Graphs I, Publ. Math. Debrecen 6, 1959, S. 290–297