Booleova algebra

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Booleova algebra je dio matematičke logike - algebarska struktura koja sažima osnovu operacija I, ILI i NE kao i skup teorijskih operacija kao što su unija, presjek i komplement.

Booleova algebra je dobila naziv po autoru, engleskom matematičaru Georgeu Booleu, britanskom matematičaru iz 19. vijeka. Booleova algebra je, osim kao dio apstraktne algebre, izuzetno uticajna kao matematički temelj računarskih nauka.

Za razliku od elementarne algebre, u kojoj u izrazima koristimo najviše brojeve od 0 do 9, u Booleovoj algebri koristimo samo istinite vrijednosti, odnosno, tačno i netačno. Ove vrijednosti možemo predstaviti preko bitova, tj. preko brojeva 1 i 0. U Booleovoj algebri se ovi bitovi ne ponašaju na način na koji smo navikli, odnosno, ${\displaystyle 1+1}$ nikada ne može biti 2. Booleova algebra takođe može da barata i funkcijama. Vrijednosti koje koristimo u ovim funkcijama moraju biti iz skupa {0, 1}.

Definicija

Binarni operator na skupu elemenata B je pravilo po kome se svakom paru elemenata iz B pridružuje jedinstveni element iz B.

Skup B je zatvoren u odnosu na neki binarni operator. ${\displaystyle <=>}$ Taj binarni operator B svakom paru elemenata iz B pridružuje jedinstven element koji pripada skupu B.

Neka su na skupu ${\displaystyle B=\left\{a,b,c...\right\}}$ definisane unarna operacija ${\displaystyle -}$ i binarne operacije ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle *}$ koje se nazivaju oduzimanje mnnoženje i sabiranje i to tako da za svako ${\displaystyle {\overline {a}}\in B}$ vrijedi ${\displaystyle {\overline {a}}=b}$, gdje je ${\displaystyle b\in B}$ i za svako ${\displaystyle a,b\in B}$ vrijedi ${\displaystyle a+b=c}$ i ${\displaystyle a*b=c}$, gdje je ${\displaystyle c\in B}$. Skup B sa operacijama ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle +}$ i ${\displaystyle *}$ predstavlja Bulovu algebru ako operacije zadovoljavaju sljedeće aksiome.

Bulova algebra je algebarska struktura koja se sastoji od skupa elemenata B, dva binarna operatora ${\displaystyle *}$ i ${\displaystyle +}$ takva da su ispunjeni Hantingtonovi aksiomi iz 1904. god.