Back زمرة التناظر Arabic Grupa symetrií Czech Symmetriegruppe German Ομάδα συμμετρίας Greek Symmetry group English Geometria simetria grupo Esperanto Grupo de simetría Spanish Simetria-talde Basque گروه تقارنی Persian Groupe de symétrie French
El grup de simetria d'un objecte (imatge, senyal, etcètera) és el grup de totes les isometries sota les quals és invariant amb l'operació de composició de funcions. És un subgrup del grup d'isometries de l'espai en qüestió. Si no es diu el contrari, en l'article es consideraran els grups de simetria en la geometria euclidiana, però el concepte també es pot estudiar en contexts més amplis; vegeu més avall.
Els "objectes" poden ser figures geomètriques, imatges i patrons repetitius, com ara els dibuixos de paper d'empaperar. La definició es pot fer més precisa especificant què és el que s'entén per imatge o dibuix; per exemple, una funció de posició amb valors en un conjunt de colors. Per a la simetria d'objectes físics, també es pot voler tenir en compte la composició física. El grup d'isometries de l'espai dona lloc a una acció de grup sobre els objectes de l'espai.
Un grup de simetria també s'anomena a vegades grup de simetria complet per emfatitzar que inclou les isometries que inverteixen l'orientació (com reflexions, reflexions amb lliscament i rotacions impròpies) sota les quals la figura queda invariable. El subgrup de les isometries que conserven l'orientació (és a dir, translacions, rotacions, i composicions d'aquests) s'anomena grup de simetria propi. El grup de simetria propi d'un objecte és igual al seu grup de simetria complet si i només si l'objecte és quiral (i per tant no hi ha cap isometria que inverteixi l'orientació sota la qual l'objecte sigui invariable).
Tot grup de simetria tal que els seus elements tenen un punt fix comú (que es compleix per a tots els grups de simetria finits i també per als grups de simetria de figures afitades) es pot representar com a subgrup del grup ortogonal O(n) escollint l'origen de forma que sigui el punt fix. Llavors, el grup de simetria propi és un subgrup del grup ortogonal especial SO(n), i per això també s'anomena grup de rotació de la figura.
Els grups de simetria discrets són de tres tipus: (1) grups de punts de simetria finits, que inclouen només les rotacions, les reflexions, les inversions i les roto-inversions - són de fet només els subgrups finits de O(n), (2) grups reticulats infinits, que inclouen només les translacions, i (3) grups espacials infinits, els elements dels quals combinen els dos tipus precedents, i també poden incloure transformacions extres. Hi ha també grups de simetria continus, que contenen rotacions d'angles arbitràriament petits o translacions de distàncies arbitràriament petites. El grup de totes les simetries d'una esfera O(3) és un exemple d'aquest tipus, i en general aquests grups de simetria continus s'estudien com grups de Lie. A una categorització dels subgrups del grup euclidià li correspon una categorització dels grups de simetria.
Es considera que dues figures geomètriques tenen el mateix tipus de simetria si els seus grups de simetria són subgrups conjugats del grup euclidià E(n) (el grup d'isometries de Rn), on dos subgrups H1, H₂ d'un grup G són conjugats si existeix g ∈ G tal que H1=g-1H₂g. Per exemple:
- Dues figures 3D que tinguin simetria especular però respecte de diferents plans especulars.
- Dues figures 3D que tinguin simetria rotacional d'ordre 3 però respecte d'eixos de rotació diferents.
- Patrons 2D amb simetria de translació, cadascun en una direcció; els dos vectors de translació tenen la mateixa longitud, però cadascun una direcció diferent.
En estudiar els grups d'isometria, es pot restringir a aquells on per a tots els punts el conjunt d'imatges sota les isometries són tancades topològicament. Això exclou per exemple en 1D el grup de translacions d'una distància igual a un nombre racional. Amb aquest grup de simetria és impossible dissenyar una "figura" que sigui homogènia amb un nivell de detall arbitràriament fi, sense que sigui realment homogènia.