Lema de Chandrasekhar-Wentzel

En càlcul vectorial, el lema de Chandrasekhar-Wentzel va ser derivat per Subrahmanyan Chandrasekhar i Gregor Wentzel el 1965 mentre estudiaven l'estabilitat de la rotació d'una gota d'un líquid.^[1][2] El lema diu que si ${\displaystyle \mathbf {S} }$ és una superfície delimitada per un contorn tancat simple ${\displaystyle C}$, llavors

${\displaystyle \mathbf {L} =\oint _{C}\mathbf {x} \times (d\mathbf {x} \times \mathbf {n} )=-\int _{\mathbf {S} }(\mathbf {x} \times \mathbf {n} )\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS.}$

Aquí, ${\displaystyle \mathbf {x} }$ és el vector de posició i ${\displaystyle \mathbf {n} }$ és la unitat normal a la superfície. Una conseqüència immediata és que si ${\displaystyle \mathbf {S} }$ és una superfície tancada, llavors la integral de línia tendeix a zero, donant lloc al resultat,

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} }(\mathbf {x} \times \mathbf {n} )\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS=0,}$

o, en notació d'índex, tenim

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} }x_{j}\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS_{k}=\int _{\mathbf {S} }x_{k}\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS_{j}.}$

És a dir el tensor

${\displaystyle T_{ij}=\int _{\mathbf {S} }x_{j}\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS_{i}}$

definida en una superfície tancada és sempre simètrica, és a dir, ${\displaystyle T_{ij}=T_{ji}}$.