Recta d'Euler

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

La Recta d'Euler d'un triangle és una recta en la qual estan situats l'ortocentre, el circumcentre i el baricentre d'un triangle, que són colineals. Rep aquest nom en honor del matemàtic suís Leonhard Euler, que va descobrir aquest fet a mitjan segle xviii.

Per veure que això és això, ens referim a la figura. el baricentre G divideix les mitjanes d'un triangle en dos segments desiguals, sent el més gran dels segments el doble que el menor. Per exemple, a la figura tenim que AG = 2GF. Per tant, en l'homotècia el centre de la qual sigui el punt G i de raó -2, el punt A és la imatge del punt F, B la imatge del punt E i C la imatge del punt D.

En aquesta homotècia, la mediatriu FO, del costat BC es transforma en la recta que conté a l'altura del vèrtex A: la recta AH (s'ha d'observar que les dues rectes són paral·leles, per ser perpendiculars al costat Bc del triangle). De manera similar, en aquesta homotècia, les altres dues mediatrius, EO i DO es transformen en les rectes que contenen les altures dels vèrtexs B i C respectivament. Les altures es tallen a l'ortocentre H del triangle i per tant, aquest és la imatge del circumcentre O del triangle, on es tallen les mediatrius dels costats del triangle. D'aquí que els tres punts, l'ortocentre H, el baricentre G i el circumcentre O estan alineats i es troben sobre la recta d'Euler e.

També concluim així que la mida del segment HG és el doble de la mida del segment OG.