Sistema generador

En àlgebra lineal, un sistema generador (o sistema de generadors) d'un espai vectorial E és un conjunt de vectors que pertanyen a E, tals que qualsevol vector de l'espai E es pot expressar com a combinació lineal dels vectors del sistema generador.^[1] És a dir, a partir dels vectors d'un sistema generador d'un espai vectorial E es pot obtenir aquest espai E complet. En general tindrem que: Sigui S un sistema de generadors d'un espai vectorial E i v un vector qualsevol de l'espai E. Es denota ${\displaystyle E=S\ ({\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2},...,{\vec {s}}_{n})}$ quan

${\displaystyle \ v=\lambda _{1}{\vec {s}}_{1}+\lambda _{2}{\vec {s}}_{2}+...+\lambda _{n}{\vec {s}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\vec {s}}_{i},\,\forall \lambda _{i}\in \mathbb {R} .}$

Els vectors d'un sistema generador no cal que siguin linealment independents. En cas que ho siguin, el nombre de vectors serà igual a la dimensió de l'espai, i direm que el sistema de generadors és base.^[2] Una base sempre serà sistema de generadors, en canvi un sistema de generadors no sempre serà base, només ho serà quan els seus vectors siguin linealment independents.