Back تنوع جبري Arabic Variedá alxebraica AST Алгебраик күп төрлөлөк Bashkir Алгебрично многообразие Bulgarian Algebraická varieta Czech Algebraische Varietät German Αλγεβρική ποικιλία Greek Algebraic variety English Algebra variaĵo Esperanto Variedad algebraica Spanish
En matemàtiques, una varietat algebraica és essencialment un conjunt de zeros comuns d'un conjunt de polinomis. Les varietats algebraiques són un dels objectes centrals de l'estudi en la geometria algebraica clàssica (i esteses, també en la moderna).[1]
Existeixen diferents convencions sobre la definició de varietat algebraica, que difereixen lleugerament entre si. Per exemple, algunes definicions exigeixen que la varietat algebraica sigui irreductible, la qual cosa vol dir que no sigui la unió de dos conjunts més petits que siguin tancats per la topologia de Zariski. Amb aquesta definició, les varietats algebraiques no irreductibles s'anomenen conjunts algebraics. Altres convencions no requereixen la irreductibilitat.
El concepte de varietat algebraica és similar al de varietat. Una diferència important és que una varietat algebraica pot tenir punts singulars, mentre que una varietat no en pot tenir.
El teorema fonamental de l'àlgebra estableix una connexió entre l'àlgebra i la geometria, mostrant que un polinomi mònic (un objecte algebraic) en una variable amb coeficients complexos està determinat pel conjunt de les seves arrels (un objecte geomètric) en el pla complex. Com a generalització d'aquest resultat, el teorema dels zeros de Hilbert (Nullstellensatz) proporciona una correspondència fonamental entre els ideals dels anells de polinomis i els conjunts algebraics. Amb la utilització del Nullstellensatz i altres resultats relacionats, els matemàtics han establert una forta correspondència entre qüestions sobre conjunts algebraics i qüestions sobre teoria d'anells. Aquesta correspondència és l'especificitat de la geometria algebraica.
- ↑ Hartshorne, 1977, p. 58.