Matematisk logik

Matematisk logik (også kendt som symbolsk logik) er et felt i matematikken med tæt forbindelse til matematikkens grundlag, datalogi og filosofisk logik.^[1] Feltet inkluderer både det matematiske studie af logik og anvendelsen af formel logik på andre områder af matematikken. De samlende temaer i matematisk logik inkluderer studiet af udtrykskraften i formelle systemer og den deduktive kraft af formelle systemer for beviser.

Matematisk logik deles ofte ind i felterne mængdelære, modelteori, rekursionsteori og bevisteori. Disse områder deler grundlæggende resultater fra logikken, særligt prædikatslogik og definérbare sæt. I datalogien (særligt i det engelske ACM Classification), omfatter matematisk logik yderligere emner, der ikke indgår i denne artikel.

Matematisk logik har siden begyndelsen både bidraget til, og været motiveret af, studiet af matematikkens grundlag. Dette studie begyndte i slutningen af 1800-tallet med udviklingen af aksiomatisk rammeværktøjer til geometri, aritmetik og analyse.

I begyndelsen af 1900-tallet blev den udformet af David Hilberts program til bevisførelse for konsistensen af grundlagsteorier. Resultater fra Kurt Gödel, Gerhard Gentzen og andre, gav delvise løsninger til programmet, og klargjorde udfordringerne som indgik i at bevise konsistensen. Arbejdet i mængdelære viste, at næsten alle ordinære matematikker kan formaliseres med brug af termer for sæt, selv om der er teoremer, der ikke kan bevises i almindelige aksiomsystemer for mængdelære. Nuværende arbejde i grundlagsmatematik fokuserer ofte på, at fastslå hvilke dele af matematikken, der kan formaliseres i partikulære formelle systemer, frem for at forsøge at nå frem til teorier, hvori al matematik kan udvikles fra.

1. ^ Tekster på bachelorniveau inkluderer Boolos, Burgess og Jeffrey (2002), Enderton (2001), samt Mendelson (1997). En klassisk tekst på kandidatniveau af Shoenfield (2001) kom frem i 1967.