Abgeschlossene Menge

In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine abgeschlossene Menge eine Teilmenge eines topologischen Raums, deren Komplement eine offene Menge ist.

Ein einfaches Beispiel ist das Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ in den reellen Zahlen (mit der Standardtopologie, erzeugt durch die Metrik ${\displaystyle d_{xy}=\left|x-y\right|}$). Das Komplement von ${\displaystyle [0,1]}$ ist die Vereinigung ${\displaystyle \textstyle (-\infty ,0)\cup (1,\infty )}$ zweier offener Intervalle, also eine offene Menge, also ist ${\displaystyle [0,1]}$ eine abgeschlossene Menge. Deshalb nennt man das Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ ein abgeschlossenes Intervall. Dagegen ist das Intervall ${\displaystyle (0,1]}$ nicht abgeschlossen, denn das Komplement ${\displaystyle (-\infty ,0]\cup (1,\infty )}$ ist nicht offen.

Ob eine Menge abgeschlossen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die Menge der Zahlen ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ bildet eine abgeschlossene Menge in den reellen Zahlen, aber nicht in den rationalen Zahlen mit der Standardtopologie. Dies folgt daraus, dass es Folgen mit rationalen Folgengliedern gibt, die zu einer Zahl außerhalb der rationalen Zahlen konvergieren.

Es ist zu beachten, dass der Begriff „offene Menge“ nicht das Gegenteil von „abgeschlossene Menge“ ist: Es gibt Mengen, die weder abgeschlossen noch offen sind, wie das Intervall ${\displaystyle (0,1]}$, und Mengen, die beides sind, wie die leere Menge. Solche Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, werden als abgeschlossene offene Mengen bezeichnet.

Der Begriff der abgeschlossenen Menge lässt sich auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Im Folgenden werden hier der anschauliche euklidische Raum, dann metrische Räume und schließlich topologische Räume betrachtet.