Darstellungstheorie endlicher Gruppen

Die Darstellungstheorie endlicher Gruppen ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem man untersucht, wie Gruppen auf gegebenen Strukturen operieren.

Man betrachtet vor allem die Operationen von Gruppen auf Vektorräumen (lineare Darstellungen). Allerdings werden auch die Operationen von Gruppen auf anderen Gruppen oder auf Mengen (Permutationsdarstellung) betrachtet.

In diesem Artikel werden bis auf gekennzeichnete Ausnahmen nur endliche Gruppen betrachtet. Wir beschränken uns außerdem bei den Darstellungsräumen auf Vektorräume über Grundkörpern der Charakteristik ${\displaystyle 0.}$ Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${\displaystyle 0}$ ist abgeschlossen, d. h., wenn eine Theorie für einen algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${\displaystyle 0}$ gilt, so gilt sie auch für alle anderen. Damit können wir im Folgenden ohne Einschränkung Vektorräume über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ betrachten.

Die Darstellungstheorie findet in vielen Bereichen der Mathematik sowie in der Quantenchemie und der Physik Anwendung. Man verwendet die Darstellungstheorie unter anderem in der Algebra, um die Struktur von Gruppen zu untersuchen, in der harmonischen Analyse und in der Zahlentheorie. Beispielsweise wird im modernen Ansatz zum besseren Verständnis automorpher Formen die Darstellungstheorie verwendet.

Weite Teile der Darstellungstheorie endlicher Gruppen lassen sich zur Darstellungstheorie kompakter Gruppen verallgemeinern.