Diagonalmatrix

Als Diagonalmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonalen bestimmt.

Für Diagonalmatrizen lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen. Wird eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum mithilfe einer Diagonalmatrix dargestellt, so können die Eigenwerte der Abbildung aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden.

Eine quadratische ${\displaystyle n}$-dimensionale Matrix ${\displaystyle A}$ heißt diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix ${\displaystyle D_{A}}$ gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, wenn eine reguläre Matrix ${\displaystyle S}$ so existiert, dass ${\displaystyle D_{A}=S^{-1}AS}$ bzw. ${\displaystyle SD_{A}=AS}$ gilt.