Diophantische Gleichung

In der algebraischen Zahlentheorie ist eine diophantische Gleichung eine Gleichung der Form

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{n})=0}$,

wobei ${\displaystyle f}$ eine gegebene Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten ist und nur ganzzahlige Lösungen für ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{n})}$ gesucht werden. Diese Gleichungen sind nach dem griechischen Mathematiker Diophantos von Alexandria (um 250) benannt.

Gleichungen dieser Art ergeben sich, wenn Teilbarkeitsfragen beantwortet werden sollen, wenn es sich um Probleme der Kongruenzarithmetik handelt oder wenn bei Problemen in der Praxis nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll sind, z. B. für die Stückzahlverteilung bei der Herstellung von mehreren Produkten.

Neben diophantischen Gleichungen gibt es noch diophantische Ungleichungen ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{n})\leq 0}$, die in der ganzzahligen linearen Optimierung Anwendung finden, und diophantische Approximationen ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{n})\approx 0}$, die in der Theorie der Kettenbrüche eine Rolle spielen bzw. mit dieser verbunden sind.