Eulersche Winkel

Die eulerschen Winkel (oder Euler-Winkel), benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler, sind ein Satz von drei Winkeln, mit denen die Orientierung (Drehlage) eines festen Körpers im dreidimensionalen euklidischen Raum beschrieben werden kann.^[1] Sie werden üblicherweise mit ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ oder mit ${\displaystyle \varphi ,\theta ,\psi }$ bezeichnet. Der Körper kann zum Beispiel ein Kreisel sein (in der theoretischen Physik) oder ein Fahrzeug, ein Schiff oder ein Flugzeug. In der Astronomie kann der „Körper“ auch die Bahnellipse eines Himmelskörpers sein.

Anstatt der Drehlage eines Körpers können eulersche Winkel auch die Lage eines kartesischen Koordinatensystems in Bezug auf ein anderes kartesisches Koordinatensystem beschreiben und werden deshalb für Koordinatentransformationen verwendet. Oft ist das gedrehte Koordinatensystem an einen gedrehten Körper „angeheftet“. Man spricht dann vom körperfesten Koordinatensystem und nennt das ursprüngliche Koordinatensystem raumfest.

Die Drehlage wird erzeugt, indem der Körper aus seiner Ursprungslage heraus nacheinander um die drei Eulerwinkel um Koordinatenachsen gedreht wird. Für die Wahl der Achsen gibt es verschiedene Konventionen:

• Eigentliche Eulerwinkel: Die erste und die dritte Drehung finden um die gleiche Koordinatenachse statt (z. B. Drehung um z-Achse, x-Achse, z-Achse).
• Kardanwinkel oder Tait-Bryan-Winkel: Alle drei Drehungen werden um verschiedene Koordinatenachsen gedreht (z. B. in der Reihenfolge x-Achse, y-Achse, z-Achse).

Dabei wird entweder bei der zweiten und dritten Drehung um die zuvor gedrehten Koordinatenachsen gedreht (intrinsische Drehungen) oder immer um die ursprünglichen Koordinatenachsen (extrinsische Drehungen).

Die aus den drei Einzeldrehungen zusammengesetzte Drehung kann durch eine Matrix beschrieben werden, die sich entsprechend als Produkt von drei elementaren Drehmatrizen darstellen lässt. Je nach Anwendungszweck betrachtet man verschiedene Matrizen:

• Transformationsmatrix für die Koordinatentransformation vom gedrehten (körperfesten) ins ursprüngliche (raumfeste) Koordinatensystem,
• Transformationsmatrix für die Koordinatentransformation vom raumfesten ins körperfeste Koordinatensystem,
• Abbildungsmatrix der Drehung bezüglich des raumfesten Koordinatensystems.

1. ↑ Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen goldstein.