Exponentialfunktion

In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form ${\displaystyle x\mapsto a^{x}}$ mit einer reellen Zahl ${\displaystyle a>0{\text{ und }}a\neq 1}$ als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten ${\displaystyle x}$ die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe exponentielles Wachstum).

Als natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion bezeichnet man die Exponentialfunktion ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ mit der eulerschen Zahl ${\displaystyle e=2{,}718\,281\,828\,459\dotso }$ als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise ${\displaystyle x\mapsto \exp(x)}$ . Diese Funktion hat gegenüber den anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus lässt sich mit der Gleichung ${\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}}$ jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis ${\displaystyle e}$ zurückführen. Deshalb befasst sich dieser Artikel im Wesentlichen mit der Exponentialfunktion zur Basis ${\displaystyle e}$.