Freie Gruppe

In der Mathematik heißt eine Gruppe frei, wenn sie eine Teilmenge ${\displaystyle S}$ enthält, sodass jedes Gruppenelement auf genau eine Weise als (reduziertes) Wort von Elementen in ${\displaystyle S}$ und deren Inversen geschrieben werden kann. Hierbei ist die Reihenfolge der Faktoren wichtig: Wenn man verlangt, dass alle Elemente der Gruppe kommutieren sollen, dann erhält man das verwandte, aber sehr verschiedene Konzept der freien abelschen Gruppe.

Freie Gruppen spielen in der Gruppentheorie eine universelle Rolle und erlauben, jede Gruppe durch Erzeuger und Relationen darzustellen. Sie treten auch in der algebraischen Topologie auf, zum Beispiel als Fundamentalgruppe von Graphen (siehe Satz von Nielsen-Schreier) oder von Flächen wie der punktierten Ebene.