Koordinatentransformation

Bei einer Koordinatentransformation werden aus den Koordinaten, die ein Punkt in einem Koordinatensystem hat, die Koordinaten berechnet, die er in einem anderen Koordinatensystem hat. Formal gesehen ist dies die Umwandlung (Transformation) der ursprünglichen Koordinaten ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ in die neuen Koordinaten ${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},\dotsc ,x'_{n})}$. Die häufigsten Anwendungen finden sich in der Geometrie, der Geodäsie, der Photogrammetrie und bei technischen Aufgabenstellungen, aber auch in solch populären Bereichen wie der Computeranimation oder bei Computerspielen, in denen die dargestellte „Realität“ aus Sicht des Spielers, wenn er sich bewegt, fortwährend neu berechnet werden muss.

Typische Koordinatentransformationen entstehen durch Drehung (Rotation), Skalierung (Veränderung des Maßstabs), Scherung und Verschiebung (Translation) des Koordinatensystems, die auch kombiniert werden können.

Allgemein können die neuen Koordinaten ${\displaystyle x'_{i}}$ beliebige Funktionen der alten Koordinaten ${\displaystyle x_{i}}$ sein. In der Regel verwendet man spezielle Transformationen, bei denen diese Funktionen gewissen Einschränkungen – z. B. Differenzierbarkeit, Linearität oder Formtreue – unterliegen. Koordinatentransformationen können angewendet werden, wenn sich ein Problem in einem anderen Koordinatensystem leichter lösen lässt, z. B. bei der Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten oder umgekehrt.

Ein Spezialfall der Koordinatentransformation ist der Basiswechsel in einem Vektorraum.^[1]

Die hier betrachteten Transformationen, bei denen die Koordinatensysteme geändert werden und sich dadurch nur die Koordinaten der Punkte ändern, während die Punkte selbst unverändert bleiben, heißen auch passive oder Alias-Transformationen,^[2] während Transformationen, bei denen sich umgekehrt die Position der Punkte gegenüber einem festen Koordinatensystems ändert, auch aktive oder Alibi-Transformationen^[3] genannt werden (siehe Abb.).

1. ↑ Beispielsweise kann die Umwandlung zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten nicht durch eine Basiswechselmatrix dargestellt werden. Deshalb ist es zwar eine Koordinatentransformation, aber kein Basiswechsel.
2. ↑ Eric W. Weisstein: Alias Transformation. MathWorld – A Wolfram Web Resource.
3. ↑ Eric W. Weisstein: Alibi Transformation. MathWorld – A Wolfram Web Resource.