Krummlinige Koordinaten

Krummlinige Koordinaten sind Koordinatensysteme auf dem euklidischen Raum ${\displaystyle E^{n}}$, bei denen die Koordinatenlinien gekrümmt sein können und die diffeomorph zu kartesischen Koordinaten sind.^[1] Das heißt, die Transformation zwischen kartesischen Koordinaten und krummlinigen Koordinaten muss lokal invertierbar sein, wobei die Abbildung wie auch die Umkehrabbildung stetig differenzierbar sein müssen.

Die am häufigsten verwendeten krummlinigen Koordinatensysteme, die beide zu den orthogonalen Koordinatensystemen zählen, sind:

• ebene Polarkoordinaten (2D) bzw. deren 3-dimensionale Entsprechung, die Zylinderkoordinaten
• Kugelkoordinaten, auch sphärische Koordinaten genannt (3D)

Je nach Problemstellung sind Berechnungen in krummlinigen Koordinatensystemen einfacher als in kartesischen durchzuführen. Zum Beispiel sind physikalische Systeme mit Radialsymmetrie oft einfacher in Kugelkoordinaten zu behandeln.

Folgende Ausführungen beziehen sich speziell auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, vieles davon lässt sich jedoch auf den ${\displaystyle n}$-dimensionalen Fall erweitern.

1. ↑ William M. Boothby: An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry. 2. überarbeitete Auflage. Academic Press, 2002.