Lateinisches Quadrat

Ein lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema mit ${\displaystyle n}$ Zeilen und ${\displaystyle n}$ Spalten, wobei jedes Feld mit einem von ${\displaystyle n}$ verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einmal auftritt. Die natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ wird Ordnung des lateinischen Quadrats genannt.

Als Symbole werden häufig die Zahlen von ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle n}$, oder ${\displaystyle n}$ verschiedene Buchstaben oder auch ${\displaystyle n}$ verschiedene Farben verwendet. Der Mathematiker Leonhard Euler befasste sich intensiv mit solchen Quadraten; als Symbolmenge benutzte er das lateinische Alphabet. Der Name lateinisches Quadrat geht darauf zurück.

In der modernen Kombinatorik und der diskreten Mathematik werden als Symbolmenge überwiegend die Zahlen von ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle n}$, seltener die Zahlen von ${\displaystyle 0}$ bis ${\displaystyle n-1}$ verwendet, und das Schema wird als spezielle ${\displaystyle n\times n}$-Matrix betrachtet.

Jedes lateinische Quadrat kann als Verknüpfungstafel (Cayley-Tafel) einer endlichen Quasigruppe aufgefasst werden, umgekehrt bestimmt jede endliche Quasigruppe eine Äquivalenzklasse von lateinischen Quadraten.

Zwei verschiedene lateinische Quadrate derselben Ordnung ${\displaystyle n}$ können orthogonal zueinander sein. In der synthetischen Geometrie werden bestimmten Mengen von paarweise orthogonalen lateinischen Quadraten der Ordnung ${\displaystyle n}$ endliche affine Ebenen zugeordnet. Daraus ergibt sich dort eine notwendige und hinreichende kombinatorische Bedingung für die Existenz von Ebenen der Ordnung ${\displaystyle n}$: Eine solche Ebene existiert genau dann, wenn es eine vollständige Liste paarweise orthogonaler Quadrate der Ordnung ${\displaystyle n}$ gibt.

Außerhalb der Mathematik im engeren Sinn werden lateinische Quadrate unter anderem in der agrarwissenschaftlichen Versuchsplanung als Blockanlagen und der statistischen Versuchsplanung angewendet.^[1][2]

1. ↑ Hinkelmann und Kempthorne (2008)
2. ↑ The latin square. In: A field guide to Experimental design. Washington State University, Tree Fruit Research and Extension Center, 16. August 2000, abgerufen am 28. Februar 2012 (englisch).