Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Parameter	${\displaystyle a>0\,}$
Definitionsbereich	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Wahrscheinlichkeitsdichte	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a^{3}}}}$
Kumulierte Verteilungsfunktion	${\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a}}}$
Erwartungswert	${\displaystyle \mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$
Modus	${\displaystyle {\sqrt {2}}a}$
Varianz	${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}}$
Quadratisch gemittelte Geschwindigkeit	${\displaystyle {\sqrt {3}}a}$
Schiefe	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}\approx 0{,}49}$
Wölbung	${\displaystyle \gamma _{2}=-4{\frac {96-40\pi +3\pi ^{2}}{(3\pi -8)^{2}}}\approx 0{,}11}$
Entropie (in nats)	${\displaystyle \ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}}$ (${\displaystyle \gamma }$: Euler-Mascheroni-Konstante)

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung oder auch maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte der statistischen Physik und spielt in der Thermodynamik, speziell der kinetischen Gastheorie, eine wichtige Rolle. Sie beschreibt die statistische Verteilung des Betrags ${\displaystyle v=|{\vec {v}}|}$ der Teilchengeschwindigkeiten in einem idealen Gas im thermodynamischen Gleichgewicht bei ruhendem Schwerpunkt. Benannt wird sie nach James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann, die sie 1860 erstmals hergeleitet haben. Sie ergibt sich aus der Boltzmann-Statistik.

Wegen der vereinfachenden Voraussetzung eines idealen Gases zeigt die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen eines realen Gases Abweichungen. Jedoch ist bei geringer Dichte und hoher Temperatur die Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die meisten Betrachtungen ausreichend.