Normale Matrix

Eine normale Matrix ist in der linearen Algebra eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle A^{*}\cdot A=A\cdot A^{*}}$,

also eine Matrix, die mit ihrer adjungierten Matrix kommutiert. Entsprechend ist eine reelle Matrix ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ normal, wenn

${\displaystyle B^{T}\cdot B=B\cdot B^{T}}$

gilt.

Der Spektralsatz besagt, dass eine Matrix ${\displaystyle A}$ genau dann normal ist, wenn es eine unitäre Matrix ${\displaystyle U}$ gibt, so dass ${\displaystyle A=UDU^{\rm {*}}}$, wobei ${\displaystyle D}$ eine Diagonalmatrix ist. Normale Matrizen haben also die Eigenschaft, dass sie unitär diagonalisierbar sind. Es existiert daher eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von ${\displaystyle A}$. Die Hauptdiagonalelemente von ${\displaystyle D}$ sind genau die Eigenwerte von ${\displaystyle A}$. Insbesondere sind jede reelle symmetrische Matrix und jede komplexe hermitesche Matrix normal. Zudem ist jede unitäre Matrix normal.