Parameterdarstellung

Unter einer Parameterdarstellung versteht man in der Mathematik eine Darstellung, bei der die Punkte einer Kurve oder Fläche als Funktion einer oder mehrerer Variablen, der Parameter, durchlaufen werden. Für die Beschreibung einer Kurve in der Ebene oder im Raum wird ein Parameter benötigt, für die Beschreibung einer Fläche ein Satz von zwei Parametern.

Eine Kurve/Fläche mit Parametern zu beschreiben, wird Parametrisierung genannt. Die Zuweisung von konkreten Werten zu den einzelnen Parametern wird Parametrierung genannt.

Ein Beispiel ist die Beschreibung des Einheitskreises um den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems in der Ebene. Ein möglicher Parameter ist der Winkel ${\displaystyle t}$ im Koordinatenursprung (s. nebenstehendes Bild), womit man folgende Parameterdarstellung des Ortsvektors ${\displaystyle {\vec {r}}}$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle t}$ erhält:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ 0\leq t<2\pi .}$

Die Beschreibung der Bahnkoordinaten eines bewegten Objektes in Abhängigkeit von der Zeit ist ein Beispiel einer Parameterdarstellung in der Physik.

Ist eine Parameterdarstellung einer Kurve oder Fläche bekannt, kann zu jedem Parameter(satz) direkt der entsprechende Punkt der Kurve oder Fläche angegeben werden. Dagegen ist es meist schwieriger, zu entscheiden, ob ein gegebener Punkt auf der Kurve oder Fläche liegt.

Kurven oder Flächen können auf unterschiedliche Art parametrisiert werden. Bei Kurven ist es oft günstig, die Bogenlänge, gemessen von einem festen Punkt aus entlang der Kurve, als Parameter zu wählen. Die Parameter von Flächen oder höherdimensionalen Gebilden werden oft so gewählt, dass die Parameterlinien orthogonal sind. Auch bei relativ einfachen Gebilden ist es nicht immer möglich, zu jeder Parametrisierung eine Parameterdarstellung der Koordinaten mit Hilfe von elementaren Funktionen zu finden, beispielsweise wenn bei einer Ellipse die Bogenlänge als Parameter gewählt wird.