Relation (Mathematik)

Eine Relation (lateinisch relatio „Beziehung“, „Verhältnis“) ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Bei Relationen im Sinne der Mathematik ist stets klar, ob sie bestehen oder nicht, sodass Objekte nicht „bis zu einem gewissen Grade“ in einer Relation zueinander stehen. Damit ist eine einfache mengentheoretische Definition des Begriffs möglich: Eine Relation ${\displaystyle R}$ ist eine Menge von ${\displaystyle n}$-Tupeln. In der Relation ${\displaystyle R}$ zueinander stehende Dinge bilden ${\displaystyle n}$-Tupel, die Element von ${\displaystyle R}$ sind.

Wird nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben, versteht man unter einer Relation gemeinhin eine zweistellige oder binäre Relation. Bei einer solchen Beziehung bilden dann jeweils zwei Elemente ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ein geordnetes Paar ${\displaystyle (a,b).}$ Stammen dabei ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ aus verschiedenen Grundmengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$, so heißt die Relation heterogen oder „Relation zwischen den Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$.“ Stimmen die Grundmengen überein (${\displaystyle A=B}$), dann heißt die Relation homogen oder „Relation in bzw. auf der Menge ${\displaystyle A}$.“

Wichtige Spezialfälle, zum Beispiel Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen, sind Relationen auf einer Menge.

Heute sehen manche Autoren den Begriff Relation nicht unbedingt als auf Mengen beschränkt an, sondern lassen jede aus geordneten Paaren bestehende Klasse als Relation gelten.