Semilineare Abbildung

Als semilineare Abbildung^[1] bezeichnet man in der linearen Algebra eine Abbildung eines Vektorraums über einem Körper ${\displaystyle K}$ auf einen anderen Vektorraum über demselben Körper, die linear bis auf einen Körperautomorphismus ${\displaystyle \alpha }$, also in diesem Sinne „fast“ eine lineare Abbildung ist. In der Geometrie werden im gleichen Sinn auch allgemeiner semilineare Abbildungen zwischen Linksvektorräumen über evtl. auch verschiedenen Schiefkörpern definiert als Abbildungen, die linear bis auf einen Schiefkörpermonomorphismus sind.

Jede lineare Abbildung ist semilinear. Genau dann ist jede semilineare Abbildung über einem ${\displaystyle K}$-Vektorraum (bzw. ${\displaystyle K}$-Linksvektorraum) sogar linear, wenn der Körper (bzw. Schiefkörper) als einzigen Automorphismus die Identität zulässt. Diese Eigenschaft haben zum Beispiel alle Primkörper, der Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen und alle euklidischen, insbesondere die reell abgeschlossenen Körper. Eine semilineare Funktion^[1] (auch Semilinearform^[2]) ist eine semilineare Abbildung eines ${\displaystyle K}$-(Links-)Vektorraumes in den (Schief-)Körper ${\displaystyle K}$ selbst als eindimensionaler ${\displaystyle K}$-Vektorraum.

Bei Wahl fester Basen der Vektorräume kann jede semilineare Abbildung eindeutig als Hintereinanderausführung einer linearen Abbildung, d. h. einer Matrix, und der Anwendung des jeweiligen (Schief-)Körperautomorphismus auf jede Koordinate dargestellt werden.

Die für Anwendungen außerhalb der Geometrie im engeren Sinn, etwa für Sesquilinearformen, wichtigsten Fälle sind die semilinearen Abbildungen zwischen komplexen Räumen, also zwischen ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorräumen, bezüglich der komplexen Konjugation. Für diese Fälle wird der im vorliegenden Artikel beschriebene Begriff auch als antilineare Abbildung oder konjugiert lineare Abbildung bezeichnet, im projektiven Fall heißt eine bijektive, semilineare Selbstabbildung dann auch Antiprojektivität, bei diesen Bezeichnungen muss die Abbildung jeweils semilinear, darf aber nicht linear sein, mit anderen Worten: Der zugehörige Körperautomorphismus darf nicht die identische Abbildung sein.^[3]

Jede semilineare Abbildung liefert in der synthetischen Geometrie eine Darstellung des homogenen Anteils einer geradentreuen Abbildung einer mindestens zweidimensionalen desarguesschen affinen Geometrie mit mehr als zwei Punkten auf jeder Geraden auf eine andere affine Geometrie bzw. eine Matrixdarstellung einer mindestens zweidimensionalen, desarguesschen projektiven Geometrie auf eine andere projektive Geometrie in Bezug auf je ein in Werte- und Zielraum fest vorgegebenes Koordinatensystem. Hier kann der Morphismus ${\displaystyle \alpha }$ aus der Definition und der Darstellung auch ein Schiefkörpermonomorphismus, also ein injektiver Ringhomomorphismus zwischen Schiefkörpern sein. Der Bildraum kann dann auch ein ${\displaystyle L}$-Linksvektorraum über einem „größeren“ Schiefkörper ${\displaystyle L}$ und der Werteraum über einem Körper ${\displaystyle K}$ sein, der zu einem Teilkörper ${\displaystyle \alpha (K)<L}$ isomorph ist.^[1]

Bijektive, semilineare Selbstabbildungen eines mindestens zweidimensionalen, desarguesschen affinen oder projektiven Raumes sind in diesem Sinne genau die Matrix-Darstellungen für die Kollineationen dieses Raumes, ggf. zusammen mit einem Schiefkörperautomorphismus.

1. ↑ ^{a b c} Scheja und Storch (1994)
2. ↑ Storch, Wiebe (1990)
3. ↑ Schaal (1980) S. 198.