Sesquilinearform

Als Sesquilinearform (lat. sesqui = anderthalb) bezeichnet man in der linearen Algebra eine Funktion, die zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet, und die linear in einem, semilinear im anderen ihrer beiden Argumente ist. Ein klassisches Beispiel ist die durch

${\displaystyle f((v_{1},\ldots ,v_{n}),(w_{1},\ldots ,w_{n}))={\overline {v}}_{1}w_{1}+\ldots +{\overline {v}}_{n}w_{n}}$

definierte Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$, das komplexe Standardskalarprodukt. Hierbei bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation.

Die beiden Argumente können verschiedenen Vektorräumen ${\displaystyle V,W}$ entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer Skalarkörper ${\displaystyle K}$ zugrunde liegen muss; eine Sesquilinearform ist eine Abbildung ${\displaystyle f\colon V\times W\to K}$; sie ist eine Linearform bezüglich des einen und eine Semilinearform bezüglich des anderen Argumentes. Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen; in der Physik ist es üblich, das semilineare Argument zuerst zu nennen.

Über den reellen Zahlen stimmt das Konzept der Sesquilinearform mit dem der Bilinearform überein.