Wendepunkt

In der Mathematik ist ein Wendepunkt ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert: Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt ${\displaystyle W\left(x_{W}|f(x_{W})\right)}$ an der Wendestelle ${\displaystyle \ x_{W}}$ liegt vor, wenn die Krümmung des Funktionsgraphen an der Stelle ${\displaystyle x_{W}}$ ihr Vorzeichen wechselt. Daraus lassen sich verschiedene hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten ableiten. Ein Kriterium fordert, dass die zweite Ableitung der differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle \ x_{W}}$ ihr Vorzeichen wechselt. Andere Kriterien fordern nur, dass die zweite Ableitung der Funktion Null ist und dass bestimmte höhere Ableitungen ungleich Null sind.

Betrachtet man die zweite Ableitung einer Funktion ${\displaystyle f}$ als „Steigung ihrer Steigung“, lassen sich ihre Wendestellen auch als Extremstellen, das heißt lokale Maxima oder Minima, ihrer Steigung interpretieren.

Tangenten durch einen Wendepunkt (im Bild rot gezeichnet) heißen Wendetangenten. Wendepunkte, in denen diese Wendetangenten horizontal verlaufen, werden Sattel-, Terrassen- oder Horizontalwendepunkte genannt.

Analog zum Begriff Extremwert scheint der Begriff Wendewert für den entsprechenden Funktionswert ${\displaystyle f(x_{W})}$ intuitiv plausibel und wird auch in manchen Quellen verwendet. Allerdings wird dabei direkt oder indirekt (durch Nutzung von bspw. Anführungszeichen) darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um einen tendenziell unüblichen Terminus handelt.^[1][2]

1. ↑ Österreichisches Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur (Hg.): Wissenschaftliche Nachrichten; Nr. 122, Juli/August 2003, S. 40.
2. ↑ Gunter Heim: Wendewert. In: Rhetos Lexikon der spekulativen Philosophie. 6. Januar 2024, abgerufen am 14. Januar 2024.