Hiperreela nombro

Sistemo de hiperreelaj nombroj estas rigora matematika maniero pritrakti infinitojn kaj infinitezimojn. Tiuj kvantoj estis vaste uzataj en matematiko kelkajn jarcentojn antaŭ enkonduko de la hiperreeloj, sed ilia uzo ĉiam estis pli intuicia ol matematike rigora. Pro disvolvoj de formala logiko dum 19-a kaj 20-a jarcentoj, oni povis difini kaj pritrakti ilin pli formale kaj rigore.

La aro de hiperreeloj (foje ankaŭ nomataj nenormaj reeloj) *R estas kampo-pluigaĵo de la aro de reeloj R, kiu enhavas nombrojn pli grandajn ol iu ajn ordinara reelo. Do, aro de hiperreeloj enhavas nombron pli grandan ol io ajn de la formo

${\displaystyle 1+1+\cdots +1.\,}$

Tiu nombro estas la infinito, kaj ĝia inverto estas infinitezimo. La aro de hiperreeloj *R estas kunigo de aro R, aro de infinitoj kaj aro de infinitezimoj. Ĝi kongruas kun principo de transdono, laŭ kiu ĉiuj asertoj de unua-orda logiko, kiuj estas veraj por iu aro, ankaŭ veras por ĉiuj vastigaĵoj de la aro. Do, bazaj algebraj aksiomoj pri reeloj ankaŭ veras pri hiperreloj - ekzemple, komuteco, asocieco, distribueco ktp.

Ekde unuaj logikistoj de Antikva Grekio oni disputis, ĉu estas logike ĝuste uzi senfinajn valorojn en argumentoj. Por eviti tian dubon, ekzemple, Eŭklido anstataŭigis tiajn pruvojn per aliaj teknikoj kiel metodo de elĉerpo^[1] En la 1960-aj jaroj Abraham Robinson pruvis, ke hiperreeloj estas logike koheraj se kaj nur se tiaj estas la reeloj. Tio forigis dubojn kaj timojn pri uzebleco de hiperreeloj, se oni pritraktas ilin laŭ logikaj reguloj, kiujn Robinson difinis.

Apliko de la hiperreeloj kaj de principo de transdono en analitiko donis starton de nova branĉo de matematika teorio, la hiperreela analitiko. Multaj matematikistoj trovas ĝin pli logika, intuicia kaj komprenebla ol klasika reela analitiko.

1. ↑ Ball, p. 31