Orta matrico

En lineara algebro, orta matrico aŭ ortonormala matrico aŭ perpendikulara matrico estas kvadrata matrico kun reelaj elementoj kies kolumnoj (aŭ linioj) estas perpendikularaj unuaj vektoroj (kaj estas, ortaj vektoroj), tio estas ke pri n×n matricoj:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk}}$

kaj

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk}}$

por ĉiuj j, k, 1≤j≤n, 1≤k≤n, kie δ_jk estas delto de Kronecker.

Tiel ĝiaj kolumnoj formas ortan bazon de la eŭklida spaco Rⁿ kun la ordinara eŭklida skalara produto.

Ekvivalente, matrico Q estas orta se ĝia transpono estas egala al ĝia inverso:

Q^T=Q⁻¹

aŭ

Q^TQ = QQ^T = I

Tiel orta matrico estas ĉiam normala matrico.

Eblus supozi ke matrico kun perpendikularaj (sed ne nepre ortaj) kolumnoj devus nomiĝi orta matrico, sed ĉi tiaj matricoj ne estas de speciala intereso kaj ne havas specialan nomon; ili nur kontentigas M^TM = D, kie D estas diagonala matrico.

Kiel lineara transformo, ortonormala matrico konservas la skalaran produton de vektoroj:

<Qx, Qy> = <x, y>

ĉar

<Qx, Qy> = (Qx)^TQy = x^TQ^TQy = x^TIy = x^Ty = <x, y>

Kvadrato de longo de vektoro v estas ||v||² = <v, v> = v^Tv , kiu estas egala al ||Qv||² = <Qv, Qv>. Tiel, kiel lineara transformo, orta matrico konservas longojn de vektoroj.

Tiel multipliko je orta matrico agas kiel izometrio de eŭklida spaco, kiel turnado aŭ reflekto. Tiel, ĝi prezentas unitan transformon.

La aro de n×n ortaj matricoj formas grupon O(n), nomatan kiel la perpendikulara grupo. La ĝia subgrupo SO(n) konsistanta de ortaj matricoj kun determinanto +1 estas nomata kiel la speciala perpendikulara grupo, kaj ĉiu el ĝiaj eroj estas speciala orta matrico. Kiel lineara transformo, ĉiu speciala orta matrico agas kiel turnado sed ne kiel reflekto.

Kvankam oni kutime konsideras nur reelan ortonormalajn matricoj, la difino povas esti uzita por matricoj kun elementoj de iu kampo.

Ortonormalaj matricoj aperas nature ĉe ena produtoj, kaj por matricoj de kompleksaj nombroj ĉi tio kondukas al konsidero de unitaj matricoj anstataŭ ortonormalaj.