Cambio de base

Un cambio de base se define como una aplicación lineal que permite relacionar entre sí las coordenadas de un espacio vectorial expresadas respecto a dos bases distintas. Esta definición depende a su vez del concepto de base en álgebra lineal, que se caracteriza como un conjunto de elementos linealmente independientes entre sí que constituyen un sistema generador del espacio vectorial al que pertenecen.^[1]​^[2]​^[3]​ Este artículo trata principalmente sobre espacios vectoriales de dimensión finita, pero muchos de los teoremas también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.^[3]​ Una base de un espacio vectorial de dimensión n es un conjunto de n vectores (α₁, …, α_n), llamados base de vectores, con la propiedad de que cada vector en el espacio puede expresarse como una combinación lineal única de los vectores de la base.^[4]​^[5]​^[3]​ Las representaciones matriciales de las aplicaciones que operan sobre los vectores también están determinadas por la base elegida. Dado que a menudo es deseable trabajar con más de una base, es de fundamental importancia poder transformar fácilmente las representaciones de los vectores coordenados y de las aplicaciones que operan sobre ellos definidos con respecto a una base, a sus representaciones equivalentes con respecto a otra base. Esta transformación se denomina cambio de base.^[6]​^[7]​^[8]​ Por ejemplo, si ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ es una matriz cuyas columnas comprenden una base de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, un vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (en la base estándar) también se puede expresar como una combinación lineal de las columnas de ${\displaystyle A}$ por el vector ${\displaystyle A^{-1}\mathbf {v} }$. Entonces, por definición, ${\displaystyle A(A^{-1}\mathbf {v} )=(AA^{-1})\mathbf {v} =\mathbf {v} }$. Si las columnas de ${\displaystyle A}$ forman una base ortonormal, entonces la inversa de ${\displaystyle A}$ es su transposición y se obtiene el cambio de base como ${\displaystyle A^{T}\mathbf {v} }$, es decir, el vector de las proyecciones escalares de ${\displaystyle \mathbf {v} }$ en las columnas de ${\displaystyle A}$.

Aunque el símbolo R que se utiliza a continuación puede interpretarse como el campo de los números reales, los resultados son válidos si R se reemplaza por cualquier otro campo F. Aunque a continuación se usa la terminología de espacios vectoriales, los resultados discutidos son válidos siempre que R sea un anillo conmutativo, de forma que el término espacio vectorial podría ser reemplazado por el término R-módulo libre, manteniéndose la validez de las expresiones utilizadas.

1. ↑ Anton (1987, p. 171)
2. ↑ Beauregard y Fraleigh (1973, p. 93)
3. ↑ ^{a b c} Nering (1970, p. 15)
4. ↑ Anton (1987, pp. 74–76)
5. ↑ Beauregard y Fraleigh (1973, pp. 194–195)
6. ↑ Anton (1987, pp. 221–237)
7. ↑ Beauregard y Fraleigh (1973, pp. 240–243)
8. ↑ Nering (1970, pp. 50–52)