Constante de Conway

La constante de Conway es una constante matemática relacionada con la secuencia mira-y-di,^[1]​ una sucesión matemática en la que cada nuevo número se genera leyendo en voz alta la cantidad de dígitos iguales consecutivos del número anterior. La constante de Conway es la tasa de crecimiento del número de cifras de la sucesión mira-y-di, también conocida como desintegración audioactiva (en inglés audioactive decay) o Look-and-Say ("Mira y di"). Por ejemplo, si ${\displaystyle x_{0}=1}$ ("un uno"), los siguientes términos serán:^[2]​

${\displaystyle x_{1}=11}$ ("dos unos --> 21")

${\displaystyle x_{2}=21}$ ("un dos, un uno --> 1211")

${\displaystyle x_{3}=1211}$ ("un uno, un dos, dos unos --> 111221")

${\displaystyle x_{4}=111221}$ ("tres unos, dos doses, un uno --> 312211")

${\displaystyle x_{5}=312211}$ ("un tres, un uno, dos doses, dos unos --> 13112221")

etc.

El proceso es similar al empleado en el sistema de compresión Run-length encoding.

Independientemente del término inicial ${\displaystyle x_{o}}$ elegido (con la única salvedad del 22), la sucesión diverge y la razón entre el número de cifras de ${\displaystyle x_{n}}$ y ${\displaystyle x_{n-1}}$ tiende a un valor fijo que es la constante de Conway, ${\displaystyle \lambda \approx 1,\!303577269}$.^[3]​ Esta constante es un número irracional algebraico, y de hecho es la única solución real positiva de la siguiente ecuación polinómica de grado 71:

${\displaystyle x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+}$

${\displaystyle 2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-}$

${\displaystyle 7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-}$

${\displaystyle 3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-}$

${\displaystyle 7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-}$

${\displaystyle 2x^{10}+5x^{9}+x^{7}-7x^{6}+7x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-6x^{2}+3x-6=0}$

Al tomar 22 ("dos doses") como término inicial, la sucesión es degenerada porque todos los términos siguientes volverán a ser 22.

1. ↑ Frabetti, Carlo (1 de mayo de 2020). «Mira y di». El País. Consultado el 26 de abril de 2022. 
2. ↑ (sucesión A005150 en OEIS)
3. ↑ John Conway y Richard Guy - The Book of Numbers, página 209 (en inglés)