Paradoja de Ehrenfest

La paradoja de Ehrenfest, formulada por Paul Ehrenfest, se refiere a la rotación de un disco "rígido" en la teoría de la relatividad.^[1]​^[2]​

En una primera formulación, en su formulación original (de 1909), Paul Ehrenfest analizó un cilindro idealmente rígido, que se hace girar sobre su propio eje de simetría.^[1]​^[2]​^[3]​ De ese modo, lo puso en relación con el concepto de rigidez de Born dentro de la relatividad especial.^[1]​^[3]​

En su primera formulación, el radio R, visto en el marco del laboratorio, es siempre perpendicular a su movimiento y, por tanto, debe ser igual o equivalente a su valor R₀ cuando se encuentra estacionario. Sin embargo, la circunferencia (2πR) debería aparecer contraída en Lorentz, a un valor menor que en reposo, por el factor habitual γ. Esto, que a priori podría parecer evidente, lleva a la contradicción de que R = R₀ y, a su vez, R < R₀.^[4]​

Esta paradoja fue explorada en mayor profundidad por el físico Albert Einstein, quien demostró que dado que la medición de dos varillas alineadas a lo largo de la periferia y moviéndose con ella, deberían aparecer contraídas, se ampliaría el espacio más alrededor de la circunferencia, lo que daría lugar a una medición mayor de 2πR. Esto indica que, para los observadores en rotación, la geometría no es euclidiana, un hallazgo importante para el desarrollo de la relatividad general de Einstein.^[5]​

Una conclusión que se deriva de lo anterior es que, cualquier objeto rígido hecho de material real que gire con una velocidad transversal cercana a la velocidad del sonido de ese material, debe exceder el punto de ruptura debido a la fuerza centrífuga, porque la presión centrífuga no puede exceder el módulo de corte de ese mismo material. Así:

${\displaystyle {\frac {F}{S}}={\frac {mv^{2}}{rS}}<{\frac {mc_{s}^{2}}{rS}}\approx {\frac {mG}{rS\rho }}\approx G}$

dónde ${\displaystyle c_{s}}$ es la velocidad del sonido, ${\displaystyle \rho }$ es la densidad del material, y ${\displaystyle G}$ es el módulo de corte. De ese modo, cuando velocidades relativistas son consideradas, se trata sólo de un experimento mental. La materia degenerada en neutrones podría permitir velocidades cercanas a la velocidad de la luz, c, ya que la velocidad de oscilación de una estrella de neutrones es relativista (aunque no sea correcto decir que estos cuerpos sean estrictamente "rígidos").

1. ↑ ^{a b c} Ehrenfest, Paul (1909). «Gleichförmige rotation starrer körper und relativitätstheorie.». Physikalische Zeitschrift, 10, 918. Consultado el 13 de febrero de 2024. 
2. ↑ ^{a b} «Index:Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie.djvu – Wikisource». de.wikisource.org (en alemán). Consultado el 13 de febrero de 2024. 
3. ↑ ^{a b} Fayngold, Moses (21 de julio de 2008). Special Relativity and How it Works (en inglés). John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-40607-4. Consultado el 13 de febrero de 2024. 
4. ↑ Grøn, Øvind (2004). Rizzi, Guido, ed. Space Geometry in Rotating Reference Frames: A Historical Appraisal. Fundamental Theories of Physics (en inglés). Springer Netherlands. pp. 285-333. ISBN 978-94-017-0528-8. doi:10.1007/978-94-017-0528-8_17. Consultado el 13 de febrero de 2024. 
5. ↑ Stachel, John (1980). "Einstein and the Rigidly Rotating Disk". In Held, A. (ed.). General Relativity and Gravitation |url= incorrecta con autorreferencia (ayuda). New York: Springer. ISBN 978-0-306-40266-1. Consultado el 13 de febrero de 2024.