Producto escalar

En matemáticas, el producto escalar,^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​ también conocido como producto interno o producto punto, es una operación algebraica que toma dos vectores y retorna un escalar, y que satisface ciertas condiciones.

De entre todos los productos que se pueden definir en distintos espacios vectoriales, el más relevante es el denominado producto escalar (usual o estándar)^[5]​ en el espacio euclideo:

${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$.

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\cdot &:&V\times V&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&&(u,v)&\longmapsto &a=\cdot (u,v)=u\cdot v=\langle u,v\rangle \end{array}}}$

Dados dos vectores ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},...,u_{n})}$ y ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},...,v_{n})}$, su producto escalar se define como:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}\cdot v_{1}+u_{2}\cdot v_{2}+...+u_{n}\cdot v_{n}}$

o sea, la suma de los productos componente por componente.^[6]​ Esta expresión equivale al producto matricial de una matriz fila y de una matriz columna, por lo que también se puede escribir el producto escalar usual como:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} }$

donde se sigue el convenio de escribir los vectores en columna y ${\displaystyle \mathbf {u} ^{T}}$ representa la transpuesta de ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

El valor numérico del producto escalar es igual al producto de los módulos de los dos vectores y del coseno del ángulo entre ellos, lo que permite utilizar el producto escalar para estudiar conceptos típicos de la geometría euclídea en dos y tres dimensiones, como las longitudes, los ángulos y la ortogonalidad. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos, a los que pueden trasladarse estos mismos conceptos geométricos. Los espacios vectoriales dotados de producto interior reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

El nombre del producto punto se deriva del símbolo que se utiliza para denotar esta operación (« · »). El nombre de producto escalar enfatiza el hecho de que el resultado es un escalar en lugar de un vector, a diferencia por ejemplo del producto vectorial. Ambas denominaciones se suelen reservar para el producto escalar usual, mientras que en el caso general es más frecuente el uso de la expresión producto interno.

1. ↑ Burbano de Ercilla, Santiago; Burbano Garcia, Enrigue; Gracia Muñoz, Carlos (2003). «II-12». Física general (32 edición). Editorial Tébar, SL. p. 41. ISBN 978-84-9544-782-1. 
2. ↑ Ríder Moyano, Alfonso; Raya Saro, Andrés; Rubio Ruiz, Rafael María (2007). «0.1». Álgebra y Geometría Cuadrática. Editorial: Netbiblo, SL. p. 13. ISBN 978-84-9745-171-0. 
3. ↑ Ibáñez Mengual, José Antonio; Martín Rodríguez, Ernesto; Zamarron Minguell, José M. (1989). «1.4.3.1». Física (4 edición). Universidad de Murcia. p. 23. ISBN 84-7684-188-4. 
4. ↑ Navarro Llinares, Juan Francisco (2009). «3.1». Álgebra lineal. Universidad de Alicant. p. 105. ISBN 978-84-9717-057-4. 
5. ↑ Meyer, 2000, p. 271.
6. ↑ Strang, 2009, p. 11.