Muutkond

See artikkel räägib geomeetria ja topoloogia mõistest; algebra mõiste kohta vaata artiklit Muutkond (algebra), keeleteaduse mõiste kohta vaata artiklit Muutkond (keeleteadus).

Muutkonna mõistet geomeetrias võib intuitiivselt mõista üldistusena klassifikatsioonist, mille järgi joon on ühemõõtmeline muutkond ja pind on kahemõõtmeline muutkond. n-mõõtmeline muutkond on ruum, mis on lokaalselt eukleidiline. Teiste sõnadega, muutkonna iga punkt kuulub mingisse piirkonda, mis näeb välja nagu eukleidiline ruum^[1].

Muutkondi saab modelleerida kahte moodi:

• Kleepides lihtsaid ruume kokku, nagu lapsed panevad kokku tetraeedreid, kuupe ja teisi hulktahukaid, joonistades paberile pinnalaotuse ning seejärel voltides ja liimides, või nagu rõivad õmmeldakse kangatükkidest kokku. Näiteks ringjoon saadakse sirglõiku tema endaga kokku voltides, silinder või koonus saadakse tasandilist riba tema endaga kokku voltides. Teine klassikaline näide on joonisel näha olev Möbiuse leht (rangelt võttes on see rajaga muutkond). Samuti on võimalik lisada kerapinnale sangasid.
• Pannes neile peale võrestiku, mille meetrika sõltub asukohast, näiteks sfäärilised koordinaadid (nagu geograafilised koordinaadid, mille puhul pikkuskraadide vahe sõltub laiuskraadist, olles suurem ekvaatorile lähemal). Sellisel juhul on tegu Riemanni muutkonnaga.

Kõige lihtsamate muutkondade seas on tasand ja eukleidiline ruum (neid on võimalik saada kokkukleepimise teel) ning jooned ja pinnad nendel. Tavaliselt defineeritakse neid küll võrranditega, kuid kõiki pindu on, nagu hulktahukaidki, saada pinnalaotustest kokkukleepimise juhiste järgi. See ongi muutkondade defineerimise üldine viis.

Raske on öelda, kes esimesena kõveraid või pindu uuris. Carl Friedrich Gaussil oli abstraktne pinna mõiste, aga n-mõõtmelise muutkonna üldine mõiste pärineb Bernhard Riemannilt. Muutkondi rakendatakse paljude matemaatika ja füüsika probleemide lahendamisel, sest nad pakuvad rohkem võimalusi kui vektorruumid. Viimaseid nimetatakse mõnikord lamedadeks ruumideks või eukleidilisteks ruumideks, et eristada neid muutkondadest kui üldjuhul kõveratest ruumidest.

Algebraline topoloogia püüab muutkondi (ja ka üldisemaid objekte) klassifitseerida, omistades igale muutkonnale invariante (mis võivad olla arvud või muud matemaatilised objektid), mis iseloomustab tema topoloogilisi omadusi.

Laialdaselt uuritakse täiendavate struktuuridega muutkondi, rakendades diferentsiaaltopoloogiat, diferentsiaalgeomeetriat, Riemanni geomeetriat ja sümplektilist geomeetriat.

Muutkondadele pööravad tähelepanu ka füüsikud. Need on osutunud heaks vahendiks Albert Einsteini üldrelatiivsusteooria formaliseerimisel ning neid rakendatakse ka stringiteoorias. Ka klassikalises mehaanikas ei saada enam ilma nendeta läbi.