Zenbakizko analisi

Zenbakizko analisia, arazo matematikoei hurbilpenezko soluzioak topatzea ahalbidetzen dituzten algoritmoak aztertzen dituen matematikaren adarra da, analisi matematikoaren arlo bat. Zenbaketa sinbolikotik bereizten da ez dituelako adierazpen aljebraikoak manipulatzen, zenbakiak baizik.

Arazo bat hurbilketa bidez ebaztean, algoritmoak eta, askotan, iterazio pausoak ere erabiltzen dira soluzioa lortzeko. Soluzio hori, ordea, ez da zehatza gehienetan, eta hurbilketa-errore bat izaten du. Zenbakizko analisian, errore hori balioesten da soluzioaren egokitasuna zehazteko.

Argitu beharrekoa da zenbakizko analisiaren emaitza aldagai baten balioa izan daitekeela (zenbaki bat), baina baita bektore edo funtzio bat ere (eskuarki polinomio funtzio baten bidez egiten da hurbilketa).

Zenbakizko analisia honako kasuetan aplikatzen da:

• Soluzioa analitikoki topatzea ezinezkoa denean.
• Soluzioa analitikoki topatzea posible izan arren, arazo praktikoak medio analitikoki topatzea ezinezkoa edo oso zaila denean.
• Soluzioa analitikoki topatzea posible izan arren, denbora luzeegia eskatzen duenean edo hurbilpen arin batekin lan egitea praktikoagoa denean.

Azken hamarkadetan, ordenagailuen bidez algoritmoak eta iterazio metodoak erabiltzeko gaitasuna asko handitu denez, zenbakizko analisia arazoak ebazteko metodo eraginkorra bihurtu da arlo askotan. Ordenagailuak oso erabilgarriak dira kalkulu matematiko konplexuetarako, baina, azken batean, zenbaki bitarrekin eta eragiketa matematiko sinpleekin lan egiten dute.

Ikuspuntu horretatik, zenbakizko analisiak algoritmoen bidez adieraz daitezkeen prozedura matematiko guztiak gauzatzeko behar den guztia emango du, algoritmoetan oinarrituta eta zenbakiak erabiliz prozesu errazagoetan simulatu edo kalkulatu ahal izateko.

Behin errorea definituta, errore onargarriarekin batera, algoritmoen egonkortasun kontzeptura pasatuko gara. Eragiketa matematiko asko aurrera eraman daitezke algoritmoa (feedback) berriz elikatzen duten zenbaki-serie bat sortuz. Horrek kalkulu- eta fintze-ahalmen handia ematen dio makinari, eta, ziklo bat osatu ahala, soluziora iristen da. Arazoa gertatzen da zikloarekin noiz arte jarraitu beharko duen edo arazoaren konponbidetik urruntzen ari garen zehaztean.

Azkenik, zenbakizko analisiarekin paraleloa den beste kontzeptu bat da zenbakien eta beste kontzeptu matematiko batzuen (bektoreak, polinomioak, etab.) irudikapenarena. Adibidez, ordenagailuetan zenbaki errealak irudikatzeko, koma flotatzaile kontzeptua erabiltzen da, matematika konbentzionalak erabiltzen duenetik oso urrun dagoena.

Oro har, arazo matematiko baten emaitza gisa zenbakizko balio bat behar denean aplikatzen dira metodo horiek, eta prozedura «zehatzak» edo «analitikoak» (manipulazio aljebraikoak, ekuazio diferentzialen teoria, integrazio-metodoak, etab.) ezin dute erantzun bat eman. Hori dela eta, fisikariek eta ingeniariek maiz erabiltzen dituzten prozedurak dira, eta, doitasuna erabatekoa ez izan arren, soluzioak lortzeko horiek duten beharrak haien garapena erraztu du. Gogoan izan behar da fisika esperimentalak, adibidez, ez dituela inoiz balio zehatzak ematen, baizik eta lortutako emaitza esperimental gehienak biltzen dituzten tarteak, ez baita ohikoa fenomeno beraren bi neurketak balio ber-berak ematea.

Adibidez, ekuazio diferentzial arruntak zeru-mekanikan agertzen dira planeten, izarren eta galaxien mugimenduak iragartzeko; zenbakizko aljebra lineala garrantzitsua da datuak aztertzeko^[2][3][4]. Ekuazio diferentzial estokastikoak eta Markov kateak funtsezkoak dira zelula bizien simulazioan, medikuntza eta biologiarako.

Ordenagailu modernoak iritsi baino lehen, maiz, zenbakizko metodoak eskuz egindako Interpolazio formulen mende zeuden, inprimatutako taula handien datuei aplikatuta. XX. mendearen erdialdetik aurrera, haien ordez, ordenagailuek beharrezkoak diren funtzioak kalkulatzen dituzte, baina, hala ere. formula horietako asko softwarearen algoritmoen zati gisa erabiltzen dira oraindik^[5].

Ikuspegi matematikoa lehendabiziko idazki matematikoetatik dago presente, Yale Babiloniar Bildumako ([1]) oholtxo batek sistema hirurogeitarreko 2 zenbakiaren erro karratuaren hurbilpena erakusten baitu, diagonalaren luzera lauki unitario batean.

Zenbakizko analisiak tradizio luze horri jarraitzen dio: erantzun sinboliko zehatzen ordez (mundu errealeko neurketetan digituetarako itzulpenaren bidez bakarrik aplika daitezkeenak), gutxi gorabeherako soluzioak ematen ditu zehaztutako errore-mugen barruan.

1. ↑ «YBC 7289» web.archive.org 2012-08-13 (Noiz kontsultatua: 2022-03-06).
2. ↑ Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. SIAM
3. ↑ Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989). Introduction to numerical linear algebra and optimization. Cambridge University Press.
4. ↑ Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra (1ª ed.). Philadelphia: SIAM
5. ↑ Brezinski, C., & Wuytack, L. (2012). Análisis numérico: Desarrollos históricos en el siglo XX. Elsevier