Valinta-aksiooma

Valinta-aksiooma on matemaattisen joukko-opin aksiooma, jonka mukaan jokaiseen epätyhjien joukkojen kokoelmaan ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ voidaan liittää uusi joukko ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ siten, että kukin sen alkioista ${\displaystyle x_{i}}$ kuuluu vastaavaan joukkoon ${\displaystyle \in S_{i}}$. Toisin sanoen voidaan muodostaa kuvaus, valintakuvaus, joka valitsee jokaisesta joukosta yhden alkion. Kaikissa tapauksissa, jos joukkoja ${\displaystyle S_{i}}$ on äärettömän monta, ei kuitenkaan voida muodostaa sääntöä, jonka mukaisesti alkiot kustakin joukosta valitaan, mutta valinta-aksiooma olettaa ainoastaan, että tällainen valintakuvaus on olemassa, vaikka sitä ei voitaisi konstruoida.

Valinta-aksioomaa käytti ensimmäisenä eksplisiittisesti Ernst Zermelo vuonna 1904. Hänen esittämässään muodossa aksiooma kuuluu näin:

»Jokaista keskenään erillisten epätyhjien joukkojen joukkoa x kohti on olemassa joukko y joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta x:n alkiosta»

Valinta-aksiooma voidaan ilmaista myös niin, että kun joukoista ${\displaystyle S_{i}}$ yksikään ei ole tyhjä, myöskään niiden karteesinen tulo ei ole tyhjä joukko.

Aksiomaattisessa joukko-opissa käytetään useimmiten aksioomina Zermelon-Fraenkelin aksioomia (ZF). Kun niihin lisätään valinta-aksiooma, saadusta aksioomakokoelmasta käytetään lyhennettä ZFC. Kurt Gödel todisti vuonna 1939, että valinta-aksiooma voidaankin ristiriidattomasti yhdistää Zermelon-Fraenkelin aksioomiin. Vuonna 1963 Paul Cohen toisaalta todisti, että sitä ei voida todistaa ZF-aksioomien avulla eli se on niistä riippumaton.