Constante de Boltzmann

Ne doit pas être confondu avec Nombre de Boltzmann.

Constante de Boltzmann

Données clés

Unités SI	joule par kelvin
Dimension	M·L 2·T −2·Θ −1[1]
Nature	Grandeur scalaire
Symbole usuel	${\displaystyle k}$ (ou ${\displaystyle k_{\textrm {B}}}$)
Lien à d'autres grandeurs	${\displaystyle S=k_{\text{B}}\ln \Omega }$ ${\displaystyle R=N_{\text{A}}\,k_{\text{B}}}$
Valeur	1,380 649 × 10−23 J K−1 (valeur exacte)

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La constante de Boltzmann ${\displaystyle k}$ (ou ${\displaystyle k_{\text{B}}}$) vaut^[2],[3] :

${\displaystyle k_{\text{B}}}$ = 1,380 649 × 10⁻²³ J K⁻¹ (valeur exacte)

Elle a été introduite en 1877 par Ludwig Boltzmann dans sa définition de l'entropie ${\displaystyle S}$^[4]. Le système étant à l'équilibre macroscopique, mais libre d'évoluer à l'échelle microscopique entre ${\displaystyle \Omega }$ micro-états différents, son entropie ${\displaystyle S}$ est donnée par :

${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln \Omega }$

${\displaystyle k_{\text{B}}}$ peut s'interpréter comme le facteur de proportionnalité reliant la température thermodynamique d'un système à son énergie au niveau microscopique, dite énergie interne. Dans les situations où le théorème d'équipartition de l'énergie s'applique, la constante de Boltzmann permet de mettre en lien l'énergie thermique et la température :

• ${\displaystyle E_{\text{th}}={\frac {1}{2}}\,k_{\text{B}}T}$ est l'expression de l'énergie dans les cas les plus simples avec un seul degré de liberté ;
• ${\displaystyle E_{\text{th}}={\frac {f}{2}}\,k_{\text{B}}T}$, où ${\displaystyle f}$ est le nombre de degrés de liberté au sens des coordonnées généralisées. Si on prend une particule libre sur un axe, le nombre de degrés de liberté en translation est égal à 1. En revanche, si cette particule est soumise à une force de rappel sinusoïdale (du type ressort), il apparaît un degré de liberté en vibration. Le nombre de degrés de liberté total devient égal à 2.

Cette constante apparaît dans toute la physique. On l'utilise pour convertir une grandeur mesurable, la température (en kelvins), en une énergie (en joules). Elle intervient par exemple dans :

• le calcul du spectre électromagnétique du corps noir ;
• les systèmes suivant une statistique de Maxwell-Boltzmann (ou loi de distribution des vitesses de Maxwell), notamment la loi d'Arrhenius ;
• la constante de Stefan-Boltzmann ;
• la constante radiative ;
• l'énergie interne d'un gaz parfait.

La constante des gaz parfaits ${\displaystyle R}$ est liée à la constante de Boltzmann par la relation : ${\displaystyle R=N_{\text{A}}\,k_{\text{B}}}$ (avec ${\displaystyle N_{\text{A}}}$ = 6,022 140 76 × 10²³ mol⁻¹ (valeur exacte) le nombre d'Avogadro, nombre de particules dans une mole^[5]). D'où : ${\displaystyle R}$ = 8,314 462 618 153 24 J mol⁻¹ K⁻¹.