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Vecteur de Runge-Lenz

Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : .

En mécanique classique, le vecteur de Runge-Lenz ou invariant de Runge-Lenz est un vecteur utilisé principalement pour décrire la forme et l'orientation de l'orbite d'un corps astronomique autour d'un autre, comme dans le cas d'une planète autour d'une étoile.

Pour deux corps en interaction gravitationnelle, le vecteur de Runge-Lenz est une constante du mouvement, ce qui signifie qu'il prend la même valeur en n'importe quel point de l'orbite[1] ; de manière équivalente on dit que le vecteur de Runge-Lenz se conserve. Plus généralement le vecteur de Runge-Lenz est conservé pour n'importe quel problème à deux corps interagissant par le biais d'une force centrale variant comme l'inverse du carré de la distance entre eux. De tels problèmes sont appelés « problèmes de Kepler »[2].

L'atome d'hydrogène est un problème de Kepler puisqu'il comprend deux charges en interaction électrostatique, une autre force centrale en carré inverse de la distance. Le vecteur de Runge-Lenz fut essentiel dans les premières descriptions quantiques Page d'aide sur l'homonymie du spectre d'émission de l'atome d'hydrogène[3] après le développement de l'équation de Schrödinger. Cependant cette approche est aujourd'hui très peu utilisée. En mécaniques classique et quantique, les grandeurs conservées correspondent généralement à une symétrie du problème. La conservation du vecteur de Runge-Lenz est associée à une symétrie inhabituelle : le problème de Kepler est mathématiquement équivalent à une particule se déplaçant librement sur une 3-sphère[4], ce qui implique que le problème est symétrique pour certaines rotations dans un espace à quatre dimensions[5]. Cette symétrie supérieure résulte de deux propriétés du problème de Kepler : le vecteur vitesse se déplace toujours dans un cercle parfait et, pour une énergie totale donnée, tous les cercles de vitesse s'interceptent en deux mêmes points[6].

Le vecteur de Runge–Lenz est nommé d'après Carl Runge et Wilhelm Lenz. Il est également connu sous les noms de vecteur de Runge[7],[8], de Lenz[7],[9],[10] ou de Pauli[7] ou de vecteur de Laplace (d'après Pierre-Simon de Laplace) bien qu'aucun de ces scientifiques ne l'ait découvert. Le vecteur de Runge-Lenz a en réalité été redécouvert plusieurs fois[11].

Le vecteur de Runge-Lenz est relié au vecteur excentricité utilisé en mécanique céleste et en astronautique[12],[13]. Il est aussi relié au vecteur de Hamilton[14]. Plusieurs généralisations du vecteur de Runge-Lenz ont été définies pour tenir compte de la relativité générale, du champ électromagnétique et des différents types de forces centrales.

  1. ↑ (en) H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison Wesley, , 2e éd., p. 102–105,421–422
  2. ↑ (en) V. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., New York, Springer-Verlag, , 2e éd., 520 p. (ISBN 978-0-387-96890-2, lire en ligne), p. 38 (traduit du russe)
  3. ↑ Pauli 1926.
  4. ↑ (en) V. Fock, « Zur Theorie des Wasserstoffatoms », Zeitschrift für Physik, vol. 98,‎ , p. 145–154
  5. ↑ (en) V. Bargmann, « Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock », Zeitschrift für Physik, vol. 99,‎ , p. 576–582
  6. ↑ (en) W. R. Hamilton, « The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction », Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 3,‎ , p. 344ff
  7. ↑ a b et c Rougé 2005, appendices, chap. C, sec. C.3, p. 308, n. 5.
  8. ↑ McIntosh 1971, sec. II, p. 82.
  9. ↑ Basdevant 2022, chap. 2, sec. 2.2, § 2.2.7, p. 58.
  10. ↑ Provost, Raffaelli et Vallée 2019, chap. 6, sec. 6.3, mouvement de Kepler, p. 162.
  11. ↑ (en) H. Goldstein, « Prehistory of the Runge–Lenz vector », American Journal of Physics, vol. 43,‎ , p. 735–738
    (en) H. Goldstein, « More on the prehistory of the Runge–Lenz vector », American Journal of Physics, vol. 44,‎ , p. 1123–1124
  12. ↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. excentricité, 3, p. 286, col. 2.
  13. ↑ (en) W. R. Hamilton, « Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions », Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 3,‎ , Appendix III
  14. ↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. Hamilton (vecteur de), p. 356, col. 1.

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