0,999...

0,999… dalam matematika adalah suatu bilangan desimal yang memuat angka 9 berulang tak terhingga. Juga bisa ditulis sebagai ${\displaystyle 0,{\bar {9}}}$, ${\displaystyle 0,{\dot {9}}}$, atau ${\displaystyle \ 0,(9)}$. Bilangan ini merupakan sebuah bilangan real yang secara matematis memiliki nilai sama dengan 1. Dengan kata lain, "0,999…" mewakili bilangan yang sama dengan angka "1". Persamaan ini telah lama diterima oleh para matematikawan dan diajarkan di buku-buku teks pelajaran. Beberapa pembuktian matematis mengenai identitas ini telah dirumuskan.

Ketidaktunggalan ekspansi bilangan real 0,999… tidaklah terbatas hanya pada sistem bilangan desimal. Fenomena yang sama juga terjadi pada semua sistem berbilangan pokok bulat, dan para matematikawan juga telah mengkuantifikasi cara penulisan 1 ke dalam representasi takbulat. Fenomena ini juga tidak hanya terjadi pada 1: setiap bilangan desimal berakhir bukan nol, memiliki kembaran dengan angka 9 tak terhingga, misalnya 28,3287 adalah sama dengan 28,32869999…. Atas alasan kesederhanaan, bilangan desimal berakhir tersebut hampir selalu dipilih, yang pada akhirnya terjadi miskonsepsi bahwa ia adalah satu-satunya representasi bilangan tersebut. Bahkan lebih luas lagi, sistem bilangan posisional apapun mengandung sejumlah tak terhingga bilangan dengan representasi berganda. Berbagai identitas ini telah diterapkan untuk membantu memahami pola ekspansi desimal pecahan dan struktur fraktal sederhana seperti himpunan Cantor.

Pada beberapa dekade ini, para peneliti pendidikan matematika telah melakukan kajian sejauh mana tingkat penerimaan para siswa dalam menerima persamaan ini. Walaupun telah diyakinkan oleh buku teks, guru pengajar, dan penjelasan aritmetika mengenai persamaan ini, para siswa tetap merasa tidak yakin dan melakukan pembenaran lebih lanjut untuk menolak persamaan ini. Alasan penolakan para siswa biasanya didasarkan pada miskonsepsi umum mengenai bilangan real; yakni setiap bilangan real mempunyai ekspansi desimal yang tunggal, bahwa bilangan real kecil tak terhingga haruslah ada, ataupun ekspansi 0,999… pada akhirnya akan berakhir. Sistem bilangan yang menghapuskan intuisi yang salah ini dapat dibangun, tetapi hanya dapat dibangun di luar sistem bilangan real standar yang digunakan dalam matematika dasar.