E (konstanta matematika)

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari E (mathematical constant) di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Bagian dari serial artikel mengenai
e
Artikel mengenai e
${\displaystyle 2.718\,281\,828\,459\,045\,235\,360\,287\dots }$
Penggunaan Bunga majemuk Identitas Euler Rumus Euler Waktu paruh (pertumbuhan dan peluruhan eksponensial)
Sifat Logaritma alami Fungsi eksponensial
Nilai Bukti bahwa e irasional Representasi dari e Teorema Lindemann-Weierstrass
Tokoh John Napier Leonhard Euler
Topik terkait Konjektur Schanuel
Portal Matematika
l b s

Bilangan ${\displaystyle e}$ (atau, disebut juga sebagai bilangan Euler) adalah konstanta matematika yang di mana aproksimasi nilainya sama dengan 2,71828 dan dikarakterisasi dalam berbagai cara. Bilangan ini termasuk basis dari logaritma alami.^[1][2] Bilangan ini adalah limit dari ${\displaystyle (1+1/n)^{n}}$ dengan ${\displaystyle n}$ yang mendekati nilai tak hingga, ekspresi yang muncul dalam studi bunga majemuk. Bilangan ini dihitung sebagai jumlah dari deret tak hingga berikut:^[3][4]

${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

Bilangan ini juga merupakan bilangan positif unik ${\displaystyle a}$ sehingga grafik fungsi ${\displaystyle y=a^{x}}$ memiliki kemiringan dari 1 pada ${\displaystyle x=0}$.^[5]

Fungsi eksponensial alami ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ adalah fungsi unik ${\displaystyle f}$ sama dengan turunan-diri dan memenuhi persamaan ${\displaystyle f''(0)=1}$; artinya ${\displaystyle e}$ juga dapat didefinisikan sebagai ${\displaystyle f(1)}$. Logaritma alami atau logaritma dengan basis ${\displaystyle e}$, adalah fungsi invers pada fungsi eksponensial alami. Logaritma alami suatu bilangan ${\displaystyle k>1}$ didefinisikan secara langsung sebagai luas bawah kurva ${\displaystyle y=1/x}$ antara ${\displaystyle x=1}$ dan ${\displaystyle x=k}$, dalam hal ini ${\displaystyle e}$ adalah nilai ${\displaystyle k}$ yang luasnya sama dengan satu (lihat gambar diatas).

${\displaystyle e}$ kadang-kadang disebut bilangan Euler, sesuai dengan metematikawan asal Swiss Leonhard Euler (jangan keliru dengan ${\displaystyle \gamma }$, konstanta Euler–Mascheroni, terkadang disebut juga sebagai konstanta Euler), atau konstanta Napier.^[4] Namun, pilihan Euler atas simbol ${\displaystyle e}$ dikatakan sudah dipertahankan untuk menghormatinya.^[6] Konstanta ini ditemukan oleh matematikawan Swiss Jacob Bernoulli saat mempelajari bunga majemuk.^[7][8]

Bilangan ${\displaystyle e}$ sangat penting digunakan dalam bidang matematika,^[9] disamping 0, 1, ${\displaystyle \pi }$, dan ${\displaystyle \mathrm {i} }$. Kelimanya muncul dalam satu formulasi identitas Euler, dan memainkan peran penting dan berulang di seluruh bidang matematika.^[10][11] Seperti konstanta ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e}$ adalah irasional (yaitu, tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat) dan transendental (yaitu bukan akar dari polinomial bukan nol dengan koefisien rasional).^[4] Untuk 50 tempat desimal nilai ${\displaystyle e}$ adalah:

1. ^ Swokowski, Earl William (1979). Calculus with Analytic Geometry (edisi ke-illustrated). Taylor & Francis. hlm. 370. ISBN 978-0-87150-268-1.  Extract of page 370
2. ^ "e - Euler's number". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-08-10. 
3. ^ Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
4. ^ ^{a b c} Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-10. 
5. ^ Marsden, Jerrold; Weinstein, Alan (1985). Calculus I (edisi ke-2nd). Springer. hlm. 319. ISBN 0-387-90974-5. 
6. ^ Sondow, Jonathan. "e". Wolfram Mathworld. Wolfram Research. Diakses tanggal 10 May 2011. 
7. ^ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (edisi ke-illustrated). Sterling Publishing Company. hlm. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9.  Extract of page 166
8. ^ O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics. 
9. ^ Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. ISBN 978-0-03-029558-4. 
10. ^ Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (edisi ke-illustrated). Oxford University Press. hlm. (preface). ISBN 9780192514059. 
11. ^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (edisi ke-illustrated). Prometheus Books. hlm. 68. ISBN 9781591022008.