Grup siklik

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi darab langsung semi-darab langsung Homomorfisme grup kernel bayangan jumlah langsung karangan bunga sederhana hingga takhingga kontinu multiplikatif aditif siklik Abel dihedral nilpoten terselesaikan aksi Glosarium teori grup Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik bergantian tipe Lie sporadik Teorema Cauchy Teorema Lagrange Teorema Sylow Teorema Hall grup-p Grup Abel elementer Grup Frobenius Pengganda Schur Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ Grup Klein ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Grup diskret Kekisi Bilangan bulat (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Grup bebas Grup modular ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ Grup aritmetika Kekisi Grup hiperbolik
Topologis dan Grup Lie Solenoid Lingkaran Linear umum ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ Linear khusus ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ Ortogonal ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ Euklides ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ Ortogonal khusus ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ Uner ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ Uniter khusus ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ Simplektik ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré konformal Difeomorfisme Gelung Grup Lie berdimensi takhingga ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Grup aljabar Grup aljabar linear Grup reduktif Varietas Abel Kurva eliptik
l b s

Dalam teori grup, cabang dari aljabar abstrak, grup siklik atau grup monogen adalah grup yaitu dihasilkan oleh satu elemen.^[1] Artinya, ini adalah himpunan dari dapat dibalik elemen dengan satu asosiatif operasi biner, dan itu berisi elemen g sedemikian rupa sehingga setiap elemen grup dapat diperoleh dengan berulang kali menerapkan operasi grup ke g atau kebalikannya. Setiap elemen dapat ditulis sebagai pangkat g dalam notasi perkalian, atau sebagai kelipatan g dalam notasi aditif. Elemen g ini disebut generator grup.^[1]

Setiap grup siklik tak terbatas adalah isomorfik pada grup aditif dari Z, bilangan bulat. Setiap grup siklik hingga urutan n isomorfik ke grup aditif dari Z/nZ, bilangan bulat modulo n . Setiap grup siklik adalah grup abelian (artinya operasi grupnya adalah komutatif), dan setiap grup abelian dihasilkan secara terbatas adalah produk langsung dari grup siklik.

Setiap kelompok siklik dari urutan prime adalah kelompok sederhana yang tidak dapat dipecah menjadi kelompok-kelompok yang lebih kecil. Di klasifikasi grup sederhana hingga, salah satu dari tiga kelas tak hingga terdiri dari gugus siklik orde utama. Dengan demikian, grup siklik dari orde utama berada di antara blok-blok penyusun dari mana semua grup dapat dibangun.

1. ^ ^{a b} Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Cyclic group", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4