Relasi Green

Dalam matematika, Relasi Green adalah lima relasi ekivalen yang mencirikan elemen-elemen dari semigrup dalam hal prinsip ideal yang mereka hasilkan. Hubungan tersebut dinamai untuk James Alexander Green, yang memperkenalkannya dalam makalah tahun 1951. John Mackintosh Howie, seorang ahli teori semigrup terkemuka, mendeskripsikan pekerjaan ini sebagai "begitu meluas sehingga, saat menghadapi semigroup baru, hampir pertanyaan pertama yang ditanyakan adalah 'Seperti apa relasi Green itu?'" (Howie 2002). Relasi berguna untuk memahami sifat perpecahan di dalam kelompok semigroup; mereka juga valid untuk grup, tetapi dalam kasus ini tidak ada yang berguna, karena grup.

Alih-alih bekerja langsung dengan semigroup S , akan lebih mudah untuk mendefinisikan relasi Green melalui monoid S¹. (S¹ adalah " S dengan identitas yang digabungkan jika perlu"; jika S belum berbentuk monoid, elemen baru disambungkan dan didefinisikan sebagai identitas.) Ini memastikan bahwa ideal utama yang dihasilkan oleh beberapa elemen semigroup memang mengandung elemen itu. Untuk elemen a dari S , cita-cita yang relevan adalah:

• Prinsip kiri ideal dihasilkan 0ada a: ${\displaystyle S^{1}a=\{sa\mid s\in S^{1}\}}$. This is the same as ${\displaystyle \{sa\mid s\in S\}\cup \{a\}}$, dim mana ${\displaystyle Sa\cup \{a\}}$.
• Prinsip kanan ideal dihasilkan pada a: ${\displaystyle aS^{1}=\{as\mid s\in S^{1}\}}$, or equivalently ${\displaystyle aS\cup \{a\}}$.
• ideal dari dua sisi utama dihasilkan pada a: ${\displaystyle S^{1}aS^{1}}$, atau ${\displaystyle SaS\cup aS\cup Sa\cup \{a\}}$.