Derivata totale

Nel calcolo differenziale, la derivata totale (od ordinaria) di una funzione di più variabili è la derivata che tiene conto della dipendenza reciproca delle variabili stesse; in altri termini, la derivata totale di una funzione rispetto ad una delle variabili prende in considerazione la dipendenza delle altre variabili dalla variabile rispetto alla quale si deriva.

Ad esempio, la derivata totale di ${\displaystyle F(t,x(t),y(t),z(t))}$ rispetto a ${\displaystyle t}$ è:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}$

Ogni derivata totale è in corrispondenza biunivoca con una 1-forma differenziale esatta:

${\displaystyle {\mathrm {d} F}={\frac {\partial F}{\partial t}}\mathrm {d} t+{\frac {\partial F}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial F}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial F}{\partial z}}\mathrm {d} z}$

dove ${\displaystyle \mathrm {d} t}$, ${\displaystyle \mathrm {d} x}$, ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ e ${\displaystyle \mathrm {d} z}$ sono i differenziali.