Formule di duplicazione

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Le formule di duplicazione nella trigonometria servono per calcolare il seno, il coseno e la tangente di ${\displaystyle 2{\alpha }}$ avendo il valore di seno, coseno o tangente di ${\displaystyle \alpha }$. Sono ottenibili direttamente a partire dalle più generali formule di addizione delle funzioni trigonometriche nel caso particolare ${\displaystyle \alpha =\beta }$.

Per il seno e il coseno si ha:

${\displaystyle \sin(2\alpha )=\sin(\alpha )\cos(\alpha )+\cos(\alpha )\sin(\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha );}$

${\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos(\alpha )\cos(\alpha )-\sin(\alpha )\sin(\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha .}$

Poiché ${\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1}$, tale formula può anche essere riscritta come:

• ${\displaystyle \cos(2\alpha )=(1-\sin ^{2}\alpha )-\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha ;}$
• ${\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -(1-\cos ^{2}\alpha )=2\cos ^{2}\alpha -1.}$

Per la tangente si ha:

${\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan(\alpha )\tan(\alpha )}}={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }},}$

e la soprastante formula è valida per ${\displaystyle \tan \alpha \neq \pm 1}$, ossia per:

${\displaystyle \alpha \neq {\pi \over 4}+k{\pi \over 2},\quad k\in \mathbb {Z} .}$

In corrispondenza di tali valori la formula tende all'infinito, ed in particolare:

• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to ({\pi \over 4}+k{\pi \over 2})^{-}}\tan(2\alpha )=+\infty ;}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to ({\pi \over 4}+k{\pi \over 2})^{+}}\tan(2\alpha )=-\infty .}$

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