Funzione spline

In analisi matematica, una spline è una funzione, costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti (detti nodi della spline), in modo tale che la funzione sia continua almeno fino ad un dato ordine di derivate in ogni punto dell'intervallo.

Il calcolo di funzioni spline è un potente strumento di grafica computerizzata di tipo vettoriale, come il CAD (Computer Aided Design, cioè "disegno assistito al computer"). Il termine inglese spline sta a significare una striscia di metallo o di legno, perché originariamente la spline costituiva un particolare strumento di disegno formato da lunghe fettucce elastiche fissate ai nodi dell'interpolazione da grossi pesi.^[1]

L'individuazione di funzioni richiede il calcolo dei coefficienti del polinomio interpolatore. Esistono varie modalità di generazione delle spline, ma, contrariamente ai metodi numerici di Newton e Lagrange, i cui polinomi hanno un grado che dipende dal numeri dei poli considerati, esse utilizzano polinomi di grado ${\displaystyle p}$ fissato per unire tutti gli ${\displaystyle n}$ nodi, con ${\displaystyle p<n}$. Quindi una spline non genera un solo polinomio interpolatore, ma un insieme di polinomi che si raccordano tra loro, in modo tale che la funzione spline finale sia continua in tutti i nodi. Per esempio, si consideri una funzione spline di grado ${\displaystyle p=3}$: essa genera un insieme di cubiche continue e derivabili due volte all'interno dell'intervallo di interpolazione; inoltre agli estremi dell'intervallo si richiede che la derivata seconda sia nulla, ossia che la funzione esca con andamento rettilineo al di fuori degli estremi dell'intervallo; in questo caso si parla di spline naturale.^[1]

La spline ha la caratteristica di interpolare i punti in modo da non avere bruschi cambiamenti nella pendenza, ossia di essere molto smussata e liscia; infatti si può dimostrare che la funzione spline ${\displaystyle y=s(x)}$ minimizza nell'intervallo di interpolazione ${\displaystyle [a,b]}$ la quantità

${\displaystyle {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}\left\vert s''(x)\right\vert ^{2}dx}},}$

che geometricamente, può essere interpretata come la misura della curvatura media della spline. Dal punto di vista fisico la condizione precedente traduce la condizione di minimizzazione dell'energia elastica posseduta dalle fettucce metalliche appartenenti all'originario strumento di disegno.^[1]