Punto critico (matematica)

In analisi matematica, un punto critico o punto stazionario di ordine ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ di una funzione analitica è un punto del piano complesso in cui la funzione è regolare ma la sua derivata ha uno zero di ordine ${\displaystyle m}$. L'immagine di un punto critico è detto valore critico.

Un punto critico o stazionario di una funzione differenziabile reale è un punto in cui la derivata si annulla oppure non è definita. Nel caso in cui si tratti di una funzione reale di due o più variabili, devono annullarsi tutte le derivate parziali, mentre se anche il codominio è uno spazio vettoriale allora è un punto in cui la matrice jacobiana non ha rango massimo. Considerando infine il caso di un campo vettoriale su una varietà differenziabile, un punto critico è un punto dove il campo vettoriale è nullo o diventa infinito.

Detta ${\displaystyle f(z)}$ una funzione analitica, ${\displaystyle p}$ è un punto critico se:

${\displaystyle \lim _{z\to p}{\frac {f(z)-f(p)}{(z-p)^{m}}}=0\qquad \lim _{z\to p}{\frac {f(z)-f(p)}{(z-p)^{m+1}}}\neq 0}$

Una funzione ${\displaystyle f(z)}$ che è regolare all'infinito ha un punto critico all'infinito se:

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }[f(z)-f(\infty )]z^{m}=0\qquad \lim _{z\to \infty }[f(z)-f(\infty )]z^{m+1}\neq 0}$

L'uso della parola "critico" è dovuto al fatto che nelle sue vicinanze si possono avere comportamenti atipici con, per esempio, punti di massimo o minimo locale o di flesso stazionario (tangenza orizzontale).

Se ad esempio ${\displaystyle f(z)}$ è il potenziale complesso associato al flusso di un liquido incomprimibile attraverso una superficie piana, per un punto critico passano non più di ${\displaystyle m+1}$ linee di flusso, ed in prossimità di esso la velocità di flusso (un campo vettoriale) è nulla.