Rotore (matematica)

Nel calcolo differenziale vettoriale, il rotore di un campo vettoriale tridimensionale è un operatore differenziale che ad un campo vettoriale tridimensionale ${\displaystyle \mathbf {A} }$ fa corrispondere un altro campo vettoriale solitamente denotato da ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$, dove ${\displaystyle \nabla }$ è l'operatore nabla, ${\displaystyle \times }$ è il prodotto vettoriale e ${\displaystyle \nabla \times }$ è l'operatore rotore. In termini intuitivi, esso esprime una rotazione infinitesima (ad esempio una velocità di rotazione) del vettore dato, associando a ogni punto dello spazio un vettore.

Si tratta di un vettore allineato con l'asse di rotazione; il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza è il valore della circuitazione del campo (la sua integrazione lungo un percorso chiuso) per unità di area, cioè nel limite in cui la curva di integrazione si riduce ad un punto.

Ad esempio, se come campo vettoriale si considera la velocità delle particelle che compongono un qualche fluido, il rotore del campo vettoriale è la densità di circolazione del fluido. I campi vettoriali che hanno rotore uguale a zero sul proprio dominio sono chiamati irrotazionali.

Il rotore misura la massima componente rotazionale piana nello sviluppo di Taylor di un campo vettoriale al primo ordine, ovvero nella linearizzazione del campo in 3 dimensioni. Pertanto, si tratta di un tipo di derivazione di un campo vettoriale. La relativa integrazione avviene tramite il teorema del rotore, caso particolare del teorema di Stokes, che mette in relazione l'integrale di superficie ${\displaystyle S}$ del rotore del campo vettoriale con l'integrale di linea del campo vettoriale lungo la frontiera ${\displaystyle \partial S}$ di ${\displaystyle S}$.

A differenza di gradiente e divergenza, generalizzare il rotore a spazi a più di tre dimensioni non è possibile. Esistono alcune generalizzazioni, ma solo in spazi tridimensionali (anche non euclidei come le varietà riemanniane tridimensionali) la definizione geometrica di rotore di un campo vettoriale fornisce un altro campo vettoriale. Da questo punto di vista, il rotore ha proprietà simili a quelle del prodotto vettoriale.